એક $AP$ માં $37$ પદો છે. ત્રણ મધ્યમ પદોનો સરવાળો $225$ છે અને છેલ્લા ત્રણ પદોનો સરવાળો $429$ છે. $AP$ શોધો.

(A) આપેલ છે કે,કુલ પદોની સંખ્યા $n = 37$ છે.
મધ્યમ પદ $\left(\frac{37+1}{2}\right)$-મું પદ એટલે કે $19$-મું પદ છે.
તેથી,ત્રણ મધ્યમ પદો $18$-મું,$19$-મું અને $20$-મું પદ છે.
આપેલ શરત મુજબ,ત્રણ મધ્યમ પદોનો સરવાળો $225$ છે:
$a_{18} + a_{19} + a_{20} = 225$
$(a + 17d) + (a + 18d) + (a + 19d) = 225$
$3a + 54d = 225$
$a + 18d = 75$ .....$(i)$
છેલ્લા ત્રણ પદોનો સરવાળો $429$ છે:
$a_{35} + a_{36} + a_{37} = 429$
$(a + 34d) + (a + 35d) + (a + 36d) = 429$
$3a + 105d = 429$
$a + 35d = 143$ .....$(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી સમીકરણ $(i)$ બાદ કરતા:
$(a + 35d) - (a + 18d) = 143 - 75$
$17d = 68$
$d = 4$
$d = 4$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$a + 18(4) = 75$
$a + 72 = 75$
$a = 3$
માગેલ $AP$ એ $a, a+d, a+2d, a+3d, \dots$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે: $3, 3+4, 3+2(4), 3+3(4), \dots$
આમ,$AP$ એ $3, 7, 11, 15, \dots$ છે.