$R$ त्रिज्या और $M$ द्रव्यमान वाले एक ग्रह की सतह से एक वस्तु को ऊर्ध्वाधर रूप से $4 R$ की अधिकतम ऊँचाई तक प्रक्षेपित किया जाता है। जब वस्तु ग्रह की सतह पर वापस लौटती है,तो उसकी चाल क्या होगी?

मान लीजिए कि $R$ और $2R$ त्रिज्या वाले दो ग्रह (गोलाकार),जिनका द्रव्यमान क्रमशः $M$ और $9M$ है,उनके केंद्रों के बीच की दूरी $8R$ है,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। $m$ द्रव्यमान के एक उपग्रह को $M$ द्रव्यमान वाले ग्रह की सतह से सीधे दूसरे ग्रह के केंद्र की ओर प्रक्षेपित किया जाता है। उपग्रह को दूसरे ग्रह की सतह तक पहुँचने के लिए आवश्यक न्यूनतम गति $v = \sqrt{\frac{a}{7} \frac{GM}{R}}$ है,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।
[दिया गया है: दोनों ग्रह अपनी स्थिति में स्थिर हैं]

एक पिंड को पृथ्वी की सतह से ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर प्रक्षेपित किया जाता है। यदि इसकी प्रक्षेपण गतिज ऊर्जा ($K$.$E$.) गुरुत्वाकर्षण प्रभाव से बचने के लिए आवश्यक न्यूनतम मान की आधी है,तो वह ऊँचाई जहाँ तक यह ऊपर उठता है,है ($R =$ पृथ्वी की त्रिज्या)।

$m$ द्रव्यमान के एक पिंड को पृथ्वी की सतह से $2R$ की ऊँचाई से मुक्त किया जाता है। पृथ्वी की सतह से $R$ की ऊँचाई पर इसकी गतिज ऊर्जा क्या होगी? (जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है)

एक पिंड जो शुरू में $R$ त्रिज्या वाली पृथ्वी की सतह से $R$ ऊँचाई पर स्थिर है,पृथ्वी की ओर मुक्त रूप से गिरता है। पृथ्वी की सतह पर पहुँचने पर उसका वेग क्या होगा?

पृथ्वी की सतह पर स्थित '$m$' द्रव्यमान को पृथ्वी की त्रिज्या के बराबर ऊँचाई पर ले जाया जाता है। यदि '$R$' पृथ्वी की त्रिज्या है और '$M$' पृथ्वी का द्रव्यमान है,तो इस प्रक्रिया में किया गया कार्य क्या होगा?