m के उन मानों का पूर्ण समुच्चय ज्ञात कीजिए जि | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $f(x) = e^{\sin x} + 2m\sin x + 1$। $f(x)$ के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ सभी $x \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$ के लिए होना

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$\left[ -\frac{1}{2}, \infty \right)$

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(D) दिया गया है $f(x) = e^{\sin x} + 2m\sin x + 1$। $f(x)$ के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ सभी $x \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$ के लिए होना चाहिए। $f'(x) = \cos x \cdot e^{\sin x} + 2m \cos x = \cos x (e^{\sin x} + 2m)$। चूंकि $x \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$,इसलिए $\cos x > 0$ है। अतः,हमें $e^{\sin x} + 2m > 0$ सभी $x \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$ के लिए चाहिए। इसका अर्थ है $2m > -e^{\sin x}$,या $m > -\frac{e^{\sin x}}{2}$। जैसे-जैसे $x$,$0$ से $\frac{\pi}{2}$ तक बदलता है,$\sin x$,$0$ से $1$ तक बदलता है। इसलिए,$e^{\sin x}$,$e^0 = 1$ से $e^1 = e$ तक बदलता है। अतः,$-\frac{e^{\sin x}}{2}$,$-\frac{1}{2}$ से $-\frac{e}{2}$ तक बदलता है। असमिका $m > -\frac{e^{\sin x}}{2}$ को सभी $x$ के लिए सत्य होने हेतु,$m$ को $-\frac{e^{\sin x}}{2}$ के उच्चक (supremum) से बड़ा या उसके बराबर होना चाहिए। $-\frac{e^{\sin x}}{2}$ का उच्चक $-\frac{1}{2}$ है। अतः,$m \ge -\frac{1}{2}$,जो कि $\left[ -\frac{1}{2}, \infty \right)$ है।

$m$ के उन मानों का पूर्ण समुच्चय ज्ञात कीजिए जिनके लिए फलन $f(x) = e^{\sin x} + 2m\sin x + 1$ सभी $x \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$ के लिए वर्धमान है।

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माना $f(x) = \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}} - \frac{d - x}{\sqrt{b^2 + (d - x)^2}}$,$x \in R$,जहाँ $a, b$ और $d$ शून्येतर वास्तविक स्थिरांक हैं। तो:

$f(x) = 10 - 6x - 2x^2$ . . . . . . अंतराल में निरंतर वर्धमान है।

$a$ के किन मानों के लिए,$f(x) = -x^3 + 4ax^2 + 2x - 5$ प्रत्येक $x$ के लिए ह्रासमान (decreasing) है?

$k$ का वह मान जिसके लिए फलन $f(x) = \sin x - \cos x - kx + b$ सभी वास्तविक $x$ के लिए निरंतर ह्रासमान है, है

सिद्ध कीजिए कि फलन $f(x) = \tan^{-1}(\sin x + \cos x), x > 0$ अंतराल $\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ में सदैव एक वर्धमान फलन है।

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