ધારો કે ઉપવલય $E$,અતિવલય $H$ અને પરવલય $P$ છે,જેમાં દરેક વક્રનું નાભિ $(2, 3)$ છે અને અનુરૂપ નિયામિકા $x + y - 10 = 0$ છે. જો $(\alpha, \alpha_1)$,$(\beta, \beta_1)$,અને $(\gamma, \gamma_1)$ એ અનુક્રમે ઉપવલય,અતિવલય અને પરવલયના આપેલ નિયામિકાથી સૌથી નજીકના શિરોબિંદુઓ હોય,તો:

ધારો કે $F_1(-1, 0)$ અને $F_2(1, 0)$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1$ ના નાભિઓ છે. ધારો કે એક પરવલય જેનું શિરોબિંદુ ઉગમબિંદુ પર છે અને નાભિ $F_2$ પર છે,તે ઉપવલયને પ્રથમ ચરણમાં બિંદુ $M$ પર અને ચોથા ચરણમાં બિંદુ $N$ પર છેદે છે.
$(1)$ ત્રિકોણ $F_1 M N$ નું લંબકેન્દ્ર છે
$(A)$ $\left(-\frac{9}{10}, 0\right)$ $(B)$ $\left(\frac{2}{3}, 0\right)$ $(C)$ $\left(\frac{9}{10}, 0\right)$ $(D)$ $\left(\frac{2}{3}, \sqrt{6}\right)$
$(2)$ જો ઉપવલયના $M$ અને $N$ બિંદુએ દોરેલા સ્પર્શકો $R$ માં મળે અને પરવલયના $M$ બિંદુએ દોરેલો અભિલંબ $x$-અક્ષને $Q$ માં મળે,તો ત્રિકોણ $M Q R$ ના ક્ષેત્રફળ અને ચતુષ્કોણ $M F_1 N F_2$ ના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર છે
$(A)$ $3: 4$ $(B)$ $4: 5$ $(C)$ $5: 8$ $(D)$ $2: 3$

કયા વિધાનો સાચા છે તે ઓળખો.

ધારો કે $P$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 6x - 8y + 21 = 0$ પરનું એક ગતિશીલ બિંદુ છે. તો, પરવલય $x^2 + 6x + y + 13 = 0$ ના શિરોબિંદુથી $P$ નું મહત્તમ અંતર કેટલું થાય?

જો પરવલય $y^2 = 4ax$ નો અભિલંબ તેના અક્ષ સાથે $\phi$ ખૂણો બનાવે,તો તે વક્રને ફરીથી કયા ખૂણે છેદશે?

લંબચોરસ અતિવલય $xy = a^2$ ની જીવા $PQ$ એ $x$-અક્ષને $A$ બિંદુમાં મળે છે. જો $C(h, k)$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ હોય અને $O$ એ ઉગમબિંદુ હોય,તો $\Delta ACO$ કેવો ત્રિકોણ છે?