સ્થિર મુક્ત ન્યુટ્રોનનું ક્ષય ધ્યાનમાં લો: $n \rightarrow p + e^-$. દર્શાવો કે આ પ્રકારના દ્વિ-પદાર્થ ક્ષયમાં ઇલેક્ટ્રોન હંમેશા નિશ્ચિત ઉર્જા ધરાવતો હોવો જોઈએ અને તેથી,તે ન્યુટ્રોન અથવા ન્યુક્લિયસના $\beta$-ક્ષયમાં જોવા મળતા સતત ઉર્જા વિતરણને સમજાવી શકતું નથી.

(N/A) સ્થિર મુક્ત ન્યુટ્રોનના દ્વિ-પદાર્થ ક્ષય $(n \rightarrow p + e^-)$ માટે,ઉર્જા અને વેગમાનનું સંરક્ષણ જળવાવું જોઈએ.
ધારો કે $M_n$,$M_p$,અને $m_e$ એ અનુક્રમે ન્યુટ્રોન,પ્રોટોન અને ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $M_n c^2 = E_p + E_e$,જ્યાં $E_p$ અને $E_e$ એ પ્રોટોન અને ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઉર્જા છે.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $\vec{p}_p + \vec{p}_e = 0$,જેનો અર્થ છે કે $|\vec{p}_p| = |\vec{p}_e| = p$.
સાપેક્ષવાદના ઉર્જા-વેગમાન સંબંધ $E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $E_p^2 = p^2 c^2 + M_p^2 c^4$ અને $E_e^2 = p^2 c^2 + m_e^2 c^4$.
પ્રોટોનની ઉર્જાના સમીકરણમાં $p^2 c^2 = E_e^2 - m_e^2 c^4$ મૂકતા: $E_p = \sqrt{E_e^2 - m_e^2 c^4 + M_p^2 c^4}$.
આને ઉર્જા સંરક્ષણના સમીકરણમાં મૂકતા: $M_n c^2 = E_e + \sqrt{E_e^2 - m_e^2 c^4 + M_p^2 c^4}$.
આ સમીકરણને $E_e$ માટે ઉકેલતા જણાય છે કે $E_e$ એ સામેલ કણોના દળ પર આધારિત એક નિશ્ચિત મૂલ્ય છે,જેનો અર્થ છે કે ઇલેક્ટ્રોન પાસે નિશ્ચિત (અલગ) ઉર્જા હોવી જોઈએ.
કારણ કે અવલોકિત $\beta$-ક્ષય વર્ણપટ સતત છે,આ દ્વિ-પદાર્થ મોડેલ અપૂરતું છે. વાસ્તવિક ક્ષય એ ત્રિ-પદાર્થ પ્રક્રિયા છે: $n \rightarrow p + e^- + \bar{\nu}_e$,જ્યાં એન્ટિન્યુટ્રિનો બાકીની ઉર્જા લઈ જાય છે,જેનાથી ઇલેક્ટ્રોન સતત ઉર્જા શ્રેણી ધરાવી શકે છે.