વિકલ સમીકરણ frac{dy}{dx} = frac{y^3}{2(xy^2 - | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{y^3}{2(xy^2 - x^2)}$ છે.ધારો કે $z = y^2$. તો $\frac{dz}{dx} = 2y \frac{dy}{dx}$.$\frac{dy}{dx} = \frac{1}

Vedclass · Accepted Answer

વિધાન $-1$ સાચું છે અને વિધાન $-2$ ખોટું છે.

Vedclass · Answer

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{y^3}{2(xy^2 - x^2)}$ છે.ધારો કે $z = y^2$. તો $\frac{dz}{dx} = 2y \frac{dy}{dx}$.$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y} \frac{dz}{dx}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:$\frac{1}{2y} \frac{dz}{dx} = \frac{y^3}{2(xy^2 - x^2)} \implies \frac{dz}{dx} = \frac{y^4}{xy^2 - x^2} = \frac{z^2}{xz - x^2}$.અંશ અને છેદને $x^2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dz}{dx} = \frac{(z/x)^2}{(z/x) - 1}$ મળે છે. આ $z$ અને $x$ ના સંદર્ભમાં એક સુરેખ (homogeneous) વિકલ સમીકરણ છે. તેથી,વિધાન $-1$ સાચું છે.$\frac{dz}{dx} = \frac{z^2}{xz - x^2}$ ને ઉકેલવા માટે,$z = vx$ લો,તો $\frac{dz}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{v^2 x^2}{x(vx) - x^2} = \frac{v^2}{v - 1}$.$x \frac{dv}{dx} = \frac{v^2}{v - 1} - v = \frac{v}{v - 1}$.$\int \frac{v - 1}{v} dv = \int \frac{1}{x} dx \implies v - \ln|v| = \ln|x| + C$.$\frac{z}{x} - \ln|\frac{z}{x}| = \ln|x| + C \implies \frac{y^2}{x} = \ln|y^2| + C$.આ $y^2 e^{-y^2/x} = C$ સાથે મેળ ખાતું નથી. તેથી,વિધાન $-2$ ખોટું છે.

Similar Questions

જો $\frac{dy}{dx} = \frac{y + x \tan(\frac{y}{x})}{x}$ હોય, તો $\sin(\frac{y}{x})$ કોના બરાબર થાય?

વિકલ સમીકરણ $x^2 dy - (xy - y^2) dx = 0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $y e^{\frac{x}{y}} dx = \left( x e^{\frac{x}{y}} + y^2 \right) dy$ ઉકેલો,જ્યાં $y \neq 0$.

જો $\frac{dy}{dx} = \frac{xy}{x^2 + y^2}$ અને $y(1) = 1$ હોય,તો $x$ ની કિંમત શોધો જે $y(x) = e$ નું સમાધાન કરે છે.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module