सभी त्रिभुजों OPQ के समुच्चय पर विचार करें जह | vedclass

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Question

(C) बिंदु $P$ और $Q$ के निर्देशांक रेखा $5x + y = 99$ पर स्थित हैं। चूँकि $x$ और $y$ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं,$x$ का मान $0$ से $19$ तक हो सकता है।मान

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$90$

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(C) बिंदु $P$ और $Q$ के निर्देशांक रेखा $5x + y = 99$ पर स्थित हैं। चूँकि $x$ और $y$ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं,$x$ का मान $0$ से $19$ तक हो सकता है।माना $P = (x_1, 99 - 5x_1)$ और $Q = (x_2, 99 - 5x_2)$,जहाँ $x_1, x_2 \in \{0, 1, 2, \dots, 19\}$ और $x_1 
eq x_2$.त्रिभुज $OPQ$ का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} |x_1 y_2 - x_2 y_1|$ है।मान रखने पर: $\Delta = \frac{1}{2} |x_1(99 - 5x_2) - x_2(99 - 5x_1)| = \frac{99}{2} |x_1 - x_2|$.$\Delta$ को पूर्णांक होने के लिए $|x_1 - x_2|$ को सम संख्या होना चाहिए।अतः,$x_1$ और $x_2$ की समता समान होनी चाहिए (दोनों सम या दोनों विषम)।$\in \{0, 1, \dots, 19\}$ में $10$ सम और $10$ विषम संख्याएँ हैं।दो भिन्न सम संख्याएँ चुनने के तरीके = $^{10}C_2 = 45$.दो भिन्न विषम संख्याएँ चुनने के तरीके = $^{10}C_2 = 45$.कुल त्रिभुजों की संख्या = $45 + 45 = 90$.

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