दो G.P. 2, 2^{2}, 2^{3}, ldots और 4, 4^{2}, 4 | vedclass

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Question

(C) प्रथम $G$.$P$. के पदों का गुणनफल $P_1 = 2^{1+2+\dots+60} = 2^{1830}$ है।द्वितीय $G$.$P$. के पदों का गुणनफल $P_2 = 4^{1+2+\dots+n} = 2^{n(n+1)}$ है

Vedclass · Accepted Answer

$1330$

Vedclass · Answer

(C) प्रथम $G$.$P$. के पदों का गुणनफल $P_1 = 2^{1+2+\dots+60} = 2^{1830}$ है।द्वितीय $G$.$P$. के पदों का गुणनफल $P_2 = 4^{1+2+\dots+n} = 2^{n(n+1)}$ है।सभी $60+n$ पदों का गुणोत्तर माध्य $(P_1 	imes P_2)^{\frac{1}{60+n}} = 2^{\frac{225}{8}}$ है।घातांकों की तुलना करने पर: $\frac{n^2+n+1830}{60+n} = \frac{225}{8}$।समीकरण को हल करने पर $n=20$ प्राप्त होता है।$\sum_{k=1}^{n} k(n-k) = \frac{n(n^2-1)}{6}$ सूत्र का उपयोग करने पर:$n=20$ के लिए: $\frac{20(399)}{6} = 1330$।

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यदि $\frac{6}{3^{12}} + \frac{10}{3^{11}} + \frac{20}{3^{10}} + \frac{40}{3^{9}} + \dots + \frac{10240}{3} = 2^{n} \cdot m$,जहाँ $m$ एक विषम संख्या है,तो $m \cdot n$ का मान ज्ञात कीजिए।

अनुक्रम $a, ar, ar^2, \dots$ के प्रथम $n$ पदों का गुणोत्तर माध्य (Geometric Mean) क्या है?

$3$ और $81$ के बीच दो ऐसी संख्याएँ ज्ञात कीजिए कि परिणामी अनुक्रम एक $G.P.$ (गुणोत्तर श्रेणी) हो।

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