एक $\operatorname{LPP}$ के लिए सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $(0,2), (3,0), (6,0), (6,8)$ और $(0,5)$ हैं। मान लीजिए $F = 4x + 6y$ उद्देश्य फलन है। $F$ का न्यूनतम मान $....$ पर होता है।

असमिकाओं $x+y \leq 3$,$2x+5y \geq 10$,$x \geq 0$,$y \geq 0$ के लिए,निम्नलिखित में से कौन सा बिंदु सुसंगत क्षेत्र (feasible region) में स्थित है?

उद्देश्य फलन $z = 3x + 5y$ का,बाधाओं $x + 3y \leqslant 60$,$x + y \geqslant 10$,$x - y = 0$,और $x, y \geqslant 0$ के अधीन,अधिकतम और न्यूनतम मान के बीच का अंतर क्या है?

यदि उद्देश्य फलन $z = 7x - 8y$ के लिए बाधाओं $x + y \leqslant 20$,$y \geqslant 5$,$x, y \geqslant 0$ के अधीन अधिकतम और न्यूनतम मानों के बीच का अंतर $5k + 200$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक निर्माता दो प्रकार के खिलौने $A$ और $B$ बनाता है। इस उद्देश्य के लिए तीन मशीनों की आवश्यकता होती है और प्रत्येक खिलौने के लिए मशीनों पर आवश्यक समय (मिनटों में) नीचे दिया गया है:

खिलौनों के प्रकार	मशीन-$I$	मशीन-$II$	मशीन-$III$
$A$	$12$	$18$	$6$
$B$	$6$	$0$	$9$

प्रत्येक मशीन प्रतिदिन अधिकतम $6 \, \text{घंटे}$ $(360 \, \text{मिनट})$ के लिए उपलब्ध है। यदि प्रकार $A$ के प्रत्येक खिलौने पर लाभ $Rs. \, 7.50$ है और प्रकार $B$ के प्रत्येक खिलौने पर लाभ $Rs. \, 5$ है,तो अधिकतम लाभ प्राप्त करने के लिए प्रतिदिन प्रत्येक प्रकार के कितने खिलौने बनाए जाने चाहिए,यह ज्ञात कीजिए।

असमिकाएं $-x_{1} + x_{2} \leq 1$,$-x_{1} + 3x_{2} \leq 9$,$x_{1}, x_{2} \geq 0$ क्या परिभाषित करती हैं?