tan ^{-1}left(frac{sqrt{1+x^2}-sqrt{1-x^2}}{s | vedclass

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Question

(A) माना $y = 	an ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}}ight)$ और $z = \cos ^{-1}(x^2)$ है।$x^2 = \cos 2	heta$ प्र

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$-\frac{1}{2}$

Vedclass · Answer

(A) माना $y = 	an ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}}ight)$ और $z = \cos ^{-1}(x^2)$ है।$x^2 = \cos 2	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,जिसका अर्थ है $	heta = \frac{1}{2} \cos ^{-1}(x^2)$।तब,$y = 	an ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+\cos 2	heta}-\sqrt{1-\cos 2	heta}}{\sqrt{1+\cos 2	heta}+\sqrt{1-\cos 2	heta}}ight)$।सर्वसमिकाओं $1+\cos 2	heta = 2\cos^2 	heta$ और $1-\cos 2	heta = 2\sin^2 	heta$ का उपयोग करने पर:$y = 	an ^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}\cos 	heta - \sqrt{2}\sin 	heta}{\sqrt{2}\cos 	heta + \sqrt{2}\sin 	heta}ight) = 	an ^{-1}\left(\frac{\cos 	heta - \sin 	heta}{\cos 	heta + \sin 	heta}ight)$।अंश और हर को $\cos 	heta$ से विभाजित करने पर:$y = 	an ^{-1}\left(\frac{1 - 	an 	heta}{1 + 	an 	heta}ight) = 	an ^{-1}\left(	an\left(\frac{\pi}{4} - 	hetaight)ight) = \frac{\pi}{4} - 	heta$।अब $	heta = \frac{1}{2} \cos ^{-1}(x^2)$ का मान रखने पर:$y = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \cos ^{-1}(x^2) = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} z$।अब $z$ के सापेक्ष $y$ का अवकलन करने पर:$\frac{dy}{dz} = \frac{d}{dz}\left(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} zight) = -\frac{1}{2}$।

$\tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}}\right)$ का $\cos ^{-1} x^2$ के सापेक्ष अवकलज क्या है?

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