दो बहुत लंबे समाक्षीय (coaxial) परिनालिकाओं के लिए अन्योन्य प्रेरकत्व (mutual inductance) का सूत्र व्युत्पन्न कीजिए। पारस्परिक प्रमेय (reciprocity theorem) की भी चर्चा कीजिए।
(N/A) मान लीजिए $l$ लंबाई की दो लंबी समाक्षीय परिनालिकाएं हैं। आंतरिक परिनालिका $S_{1}$ की त्रिज्या $r_{1}$ और प्रति इकाई लंबाई फेरों की संख्या $n_{1}$ है। बाहरी परिनालिका $S_{2}$ के लिए संबंधित राशियाँ $r_{2}$ और $n_{2}$ हैं। मान लीजिए $N_{1}$ और $N_{2}$ क्रमशः $S_{1}$ और $S_{2}$ के कुल फेरे हैं।
जब $S_{2}$ से धारा $I_{2}$ प्रवाहित होती है,तो यह इसके अंदर $B_{2} = \mu_{0} n_{2} I_{2}$ का चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करती है। यह क्षेत्र आंतरिक परिनालिका $S_{1}$ से होकर गुजरता है।
$S_{1}$ के प्रत्येक फेरे से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\Phi_{1} = B_{2} A_{1} = (\mu_{0} n_{2} I_{2})(\pi r_{1}^{2})$ है।
$S_{1}$ के साथ कुल फ्लक्स लिंकेज $N_{1} \Phi_{1} = (n_{1} l) (\mu_{0} n_{2} I_{2} \pi r_{1}^{2}) = (\mu_{0} n_{1} n_{2} \pi r_{1}^{2} l) I_{2}$ है।
परिभाषा के अनुसार,$N_{1} \Phi_{1} = M_{12} I_{2}$,जहाँ $M_{12}$ परिनालिका $S_{2}$ के सापेक्ष $S_{1}$ का अन्योन्य प्रेरकत्व है।
अतः,$M_{12} = \mu_{0} n_{1} n_{2} \pi r_{1}^{2} l$.
इसी प्रकार,यदि $S_{1}$ से धारा $I_{1}$ प्रवाहित होती है,तो $S_{2}$ के साथ फ्लक्स लिंकेज $N_{2} \Phi_{2} = M_{21} I_{1}$ होगा,जहाँ $M_{21} = \mu_{0} n_{1} n_{2} \pi r_{1}^{2} l$.
चूंकि $M_{12} = M_{21} = M$,यह पारस्परिक प्रमेय को सिद्ध करता है,जो बताता है कि दो कुंडलियों का अन्योन्य प्रेरकत्व समान रहता है,चाहे किसी भी कुंडली को प्राथमिक या द्वितीयक के रूप में उपयोग किया जाए।
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परिभाषा के अनुसार,$N_{1} \Phi_{1} = M_{12} I_{2}$,जहाँ $M_{12}$ परिनालिका $S_{2}$ के सापेक्ष $S_{1}$ का अन्योन्य प्रेरकत्व है।
अतः,$M_{12} = \mu_{0} n_{1} n_{2} \pi r_{1}^{2} l$.
इसी प्रकार,यदि $S_{1}$ से धारा $I_{1}$ प्रवाहित होती है,तो $S_{2}$ के साथ फ्लक्स लिंकेज $N_{2} \Phi_{2} = M_{21} I_{1}$ होगा,जहाँ $M_{21} = \mu_{0} n_{1} n_{2} \pi r_{1}^{2} l$.
चूंकि $M_{12} = M_{21} = M$,यह पारस्परिक प्रमेय को सिद्ध करता है,जो बताता है कि दो कुंडलियों का अन्योन्य प्रेरकत्व समान रहता है,चाहे किसी भी कुंडली को प्राथमिक या द्वितीयक के रूप में उपयोग किया जाए।
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