$x$ के सापेक्ष फलन का अवकलन कीजिए: $x^{\sin x}+(\sin x)^{\cos x}$

माना $y=x^{\sin x}+(\sin x)^{\cos x}$.
माना $u=x^{\sin x}$ और $v=(\sin x)^{\cos x}$.
अतः $y=u+v$,जिससे $\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}+\frac{dv}{dx}$ $(1)$.
$u=x^{\sin x}$ के लिए,दोनों पक्षों का लॉग लेने पर: $\log u = \sin x \log x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = \cos x \log x + \sin x \cdot \frac{1}{x}$.
अतः,$\frac{du}{dx} = x^{\sin x} \left( \cos x \log x + \frac{\sin x}{x} \right)$ $(2)$.
$v=(\sin x)^{\cos x}$ के लिए,दोनों पक्षों का लॉग लेने पर: $\log v = \cos x \log(\sin x)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = -\sin x \log(\sin x) + \cos x \cdot \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x$.
अतः,$\frac{dv}{dx} = (\sin x)^{\cos x} [\cot x \cos x - \sin x \log(\sin x)]$ $(3)$.
$(2)$ और $(3)$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} = x^{\sin x} \left( \cos x \log x + \frac{\sin x}{x} \right) + (\sin x)^{\cos x} [\cot x \cos x - \sin x \log(\sin x)]$.