दो अतिपरवलयों frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} | vedclass

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Question

(D) माना दो अतिपरवलय $H_1: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ और $H_2: \frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$ हैं।$H_1$ की कोई भी स्पर्श रेखा $y =

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उपरोक्त सभी

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(D) माना दो अतिपरवलय $H_1: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ और $H_2: \frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$ हैं।$H_1$ की कोई भी स्पर्श रेखा $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ द्वारा दी जाती है।इस रेखा के $H_2$ की स्पर्श रेखा होने के लिए,हम $H_2$ को $\frac{x^2}{(-b^2)} - \frac{y^2}{(-a^2)} = 1$ के रूप में लिखते हैं। $\frac{x^2}{A} - \frac{y^2}{B} = 1$ के लिए $y = mx + c$ स्पर्श रेखा होने की शर्त $c^2 = Am^2 - B$ है।यहाँ $A = -b^2$ और $B = -a^2$,इसलिए $c^2 = (-b^2)m^2 - (-a^2) = a^2 - b^2m^2$ है।$c^2$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $a^2m^2 - b^2 = a^2 - b^2m^2$ प्राप्त होता है।$(a^2 + b^2)m^2 = a^2 + b^2$,जिससे $m^2 = 1$ प्राप्त होता है,अतः $m = \pm 1$ है।$c^2 = a^2m^2 - b^2$ में $m^2 = 1$ रखने पर,हमें $c^2 = a^2 - b^2$ प्राप्त होता है,इसलिए $c = \pm \sqrt{a^2 - b^2}$ है।अतः,उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ $y = \pm x \pm \sqrt{a^2 - b^2}$ हैं।दिए गए सभी विकल्प इस समूह में शामिल हैं।

दो अतिपरवलयों $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ और $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$ की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं के समीकरण हैं:

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यदि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ और अतिपरवलय $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{81} = \frac{1}{25}$ की नाभियाँ संपाती हैं,तो $b^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि वक्र $\frac{x^2}{\alpha} + \frac{y^2}{4} = 1$ और $y^3 = 16x$ समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं,तो $\alpha$ का मान है

यदि $y^{2}=4ax$ के बिंदु $(at^{2}, 2at)$ पर स्पर्श रेखा, जहाँ $|t|>1$, $x^{2}-y^{2}=a^{2}$ के बिंदु $(a \sec \theta, a \tan \theta)$ पर अभिलंब है, तो

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