पृथ्वी से किसी पिंड का पलायन वेग $11.2 \,km/s$ है। यदि किसी ग्रह की त्रिज्या पृथ्वी की त्रिज्या की एक-तिहाई और द्रव्यमान पृथ्वी के द्रव्यमान का एक-छठा भाग हो, तो उस ग्रह से पलायन वेग क्या होगा ($\,km/s$ में)?

यदि $v_e$ पलायन वेग (escape velocity) है और $v_0$ पृथ्वी की सतह के निकट कक्षा में उपग्रह का कक्षीय वेग (orbital velocity) है,तो इनके बीच क्या संबंध है?

नीचे दो कथन दिए गए हैं:
कथन $I:$ किसी ग्रह के लिए,यदि ग्रह के द्रव्यमान और उसकी त्रिज्या का अनुपात बढ़ता है,तो ग्रह से पलायन वेग भी बढ़ता है।
कथन $II:$ पलायन वेग ग्रह की त्रिज्या से स्वतंत्र होता है।
उपर्युक्त कथनों के आलोक में,नीचे दिए गए विकल्पों में से सबसे उपयुक्त उत्तर चुनें:

पृथ्वी की सतह से पलायन वेग $v$ है। पृथ्वी की तुलना में चार गुना त्रिज्या और समान द्रव्यमान घनत्व वाले दूसरे ग्रह की सतह से पलायन वेग क्या होगा?

स्तंभ-$I$ को स्तंभ-$II$ के साथ सुमेलित कीजिए।

स्तंभ-$I$	स्तंभ-$II$
$(1)$ पृथ्वी की सतह पर पलायन वेग का मान	$(a)$ $2.38 \, km \, s^{-1}$
$(2)$ चंद्रमा की सतह पर पलायन वेग का मान	$(b)$ $7.92 \, km \, s^{-1}$
	$(c)$ $11.2 \, km \, s^{-1}$

एक अंतरिक्ष यान मंगल ग्रह पर स्थित है। इसे सौर मंडल से बाहर भेजने के लिए अंतरिक्ष यान पर कितनी ऊर्जा खर्च करनी होगी? अंतरिक्ष यान का द्रव्यमान $= 1000 \; kg$,सूर्य का द्रव्यमान $= 2 \times 10^{30} \; kg$,मंगल का द्रव्यमान $= 6.4 \times 10^{23} \; kg$,मंगल की त्रिज्या $= 3395 \; km$,मंगल की कक्षा की त्रिज्या $= 2.28 \times 10^{8} \; km$,$G = 6.67 \times 10^{-11} \; N m^{2} kg^{-2}$.