योगफल की सीमा के रूप में $\int_{0}^{2} e^{x} dx$ का मूल्यांकन कीजिए।

(A) परिभाषा के अनुसार,योगफल की सीमा के रूप में निश्चित समाकल $\int_{a}^{b} f(x) dx = (b-a) \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{n-1} f(a + r\frac{b-a}{n})$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$a=0, b=2, f(x)=e^x$,इसलिए $\int_{0}^{2} e^x dx = (2-0) \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{n-1} e^{0 + r\frac{2}{n}} = 2 \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{n-1} (e^{2/n})^r$.
यह $n$ पदों वाली एक गुणोत्तर श्रेणी है,जिसका प्रथम पद $1$ और सार्व अनुपात $e^{2/n}$ है।
योगफल $\frac{1( (e^{2/n})^n - 1 )}{e^{2/n} - 1} = \frac{e^2 - 1}{e^{2/n} - 1}$ है।
अतः,$\int_{0}^{2} e^x dx = 2 \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left( \frac{e^2 - 1}{e^{2/n} - 1} \right) = 2(e^2 - 1) \lim_{n \to \infty} \frac{1/n}{e^{2/n} - 1}$.
अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर,हमें $2(e^2 - 1) \lim_{n \to \infty} \frac{2/n}{2(e^{2/n} - 1)} = (e^2 - 1) \lim_{h \to 0} \frac{h}{e^h - 1}$ प्राप्त होता है,जहाँ $h = 2/n$.
चूँकि $\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1$,इसलिए परिणाम $e^2 - 1$ है।