આકૃતિમાં બિંદુ $O$ પર મૂકેલી એક નાની ચુંબકીય સોય $P$ દર્શાવેલ છે. તીર તેની ચુંબકીય મોમેન્ટની દિશા દર્શાવે છે. અન્ય તીરો બીજી સમાન ચુંબકીય સોય $Q$ ના વિવિધ સ્થાન (અને ચુંબકીય મોમેન્ટની દિશાઓ) દર્શાવે છે.
$(a)$ કઈ ગોઠવણીમાં તંત્ર સંતુલનમાં નથી?
$(b)$ કઈ ગોઠવણીમાં તંત્ર $(i)$ સ્થાયી અને $(ii)$ અસ્થાયી સંતુલનમાં છે?
$(c)$ દર્શાવેલી તમામ ગોઠવણીઓમાંથી કઈ ગોઠવણી સૌથી ઓછી સ્થિતિ ઊર્જા ધરાવે છે?

(N/A) તંત્રની સ્થિતિ ઊર્જા એક ડાયપોલ $(Q)$ ની બીજા ડાયપોલ $(P)$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં થતી આંતરક્રિયાને કારણે ઉદભવે છે. ડાયપોલ $P$ ને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}_P$ નીચે મુજબ છે:
$1$. અક્ષીય રેખા પર: $\vec{B}_P = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2\vec{m}_P}{r^3}$
$2$. વિષુવરેખીય રેખા પર: $\vec{B}_P = -\frac{\mu_0}{4\pi} \frac{\vec{m}_P}{r^3}$
સંતુલન ત્યારે મળે છે જ્યારે ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{m}_Q \times \vec{B}_P = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\vec{m}_Q$ એ $\vec{B}_P$ ને સમાંતર અથવા પ્રતિ-સમાંતર હોવું જોઈએ.
$(a)$ $PQ_1$ અને $PQ_2$ ગોઠવણીમાં,ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{m}_Q$ એ તે બિંદુઓ પરના ક્ષેત્ર $\vec{B}_P$ ને સમાંતર કે પ્રતિ-સમાંતર નથી. તેથી,ટોર્ક શૂન્ય નથી અને તંત્ર સંતુલનમાં નથી.
$(b)$ જ્યારે $\vec{m}_Q$ એ $\vec{B}_P$ ને સમાંતર હોય ત્યારે સ્થાયી સંતુલન (સ્થિતિ ઊર્જા $U = -\vec{m}_Q \cdot \vec{B}_P$ ન્યૂનતમ હોય) અને જ્યારે $\vec{m}_Q$ એ $\vec{B}_P$ ને પ્રતિ-સમાંતર હોય ત્યારે અસ્થાયી સંતુલન (સ્થિતિ ઊર્જા $U$ મહત્તમ હોય) મળે છે.
$(i)$ સ્થાયી સંતુલન: $PQ_3$ અને $PQ_6$.
$(ii)$ અસ્થાયી સંતુલન: $PQ_4$ અને $PQ_5$.
$(c)$ સ્થિતિ ઊર્જા $U = -\vec{m}_Q \cdot \vec{B}_P$. સૌથી ઓછી સ્થિતિ ઊર્જા તે ગોઠવણીમાં મળે છે જ્યાં $\vec{m}_Q$ અને $\vec{B}_P$ સમાંતર હોય અને $\vec{B}_P$ નું મૂલ્ય મહત્તમ હોય. અક્ષીય ક્ષેત્ર વિષુવરેખીય ક્ષેત્ર કરતા બમણું હોવાથી,$PQ_6$ (અક્ષ પર) સૌથી ઓછી સ્થિતિ ઊર્જા ધરાવે છે.