यदि $\cos x = -\frac{1}{3}$ और $x$ चतुर्थांश $III$ में स्थित है,तो $\sin \frac{x}{2}, \cos \frac{x}{2}$ और $\tan \frac{x}{2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

(A) यहाँ $x$ चतुर्थांश $III$ में है,अर्थात $\pi < x < \frac{3\pi}{2}$.
अतः,$\frac{\pi}{2} < \frac{x}{2} < \frac{3\pi}{4}$.
इस अंतराल (द्वितीय चतुर्थांश) में,$\sin \frac{x}{2}$ धनात्मक है,जबकि $\cos \frac{x}{2}$ और $\tan \frac{x}{2}$ ऋणात्मक हैं।
सर्वसमिका $\cos x = 1 - 2\sin^2 \frac{x}{2}$ का उपयोग करने पर,$\sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2} = \frac{1 - (-1/3)}{2} = \frac{2}{3}$.
चूँकि $\sin \frac{x}{2} > 0$,इसलिए $\sin \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.
सर्वसमिका $\cos x = 2\cos^2 \frac{x}{2} - 1$ का उपयोग करने पर,$\cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2} = \frac{1 + (-1/3)}{2} = \frac{1}{3}$.
चूँकि $\cos \frac{x}{2} < 0$,इसलिए $\cos \frac{x}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
अंततः,$\tan \frac{x}{2} = \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)} = -\sqrt{2}$.