यदि $0 < x < \pi$ के लिए $f(x)=(\sin x)^{\sin x}$ है,तो $f^{\prime}(x)$ ज्ञात कीजिए।

दिया गया फलन $f(x) = (\sin x)^{\sin x}$ है।
माना $y = (\sin x)^{\sin x}$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\ln y = \ln ((\sin x)^{\sin x}) = \sin x \cdot \ln(\sin x)$.
गुणनफल नियम का उपयोग करते हुए $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\sin x) \cdot \ln(\sin x) + \sin x \cdot \frac{d}{dx}(\ln(\sin x))$.
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \cos x \cdot \ln(\sin x) + \sin x \cdot \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x$.
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \cos x \cdot \ln(\sin x) + \cos x$.
$\cos x$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \cos x (1 + \ln(\sin x))$.
$\frac{dy}{dx}$ का मान ज्ञात करने के लिए $y$ से गुणा करने पर:
$\frac{dy}{dx} = y \cdot \cos x (1 + \ln(\sin x))$.
$y = (\sin x)^{\sin x}$ का मान वापस रखने पर:
$f^{\prime}(x) = (\sin x)^{\sin x} \cos x (1 + \ln(\sin x))$.