$\int \frac{3 x-2}{(x+1)^{2}(x+3)} d x$ ज्ञात कीजिए।

(N/A) समाकल्य नीचे दिए गए प्रकार का है:

परिमेय फलन का रूप	आंशिक भिन्न का रूप
$\frac{p x^{2}+q x+r}{(x-a)^{2}(x-b)}$	$\frac{A}{x-a}+\frac{B}{(x-a)^{2}}+\frac{C}{x-b}$

हम लिख सकते हैं: $\frac{3 x-2}{(x+1)^{2}(x+3)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^{2}}+\frac{C}{x+3}$
हर से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है: $3 x-2 = A(x+1)(x+3)+B(x+3)+C(x+1)^{2}$
पदों का विस्तार करने पर: $3 x-2 = A(x^{2}+4 x+3)+B(x+3)+C(x^{2}+2 x+1)$
दोनों पक्षों में $x^{2}, x$ और अचर पद के गुणांकों की तुलना करने पर:
$A+C=0$
$4 A+B+2 C=3$
$3 A+3 B+C=-2$
इन समीकरणों को हल करने पर,हमें $A=\frac{11}{4}, B=\frac{-5}{2}$ और $C=\frac{-11}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,समाकल्य है: $\frac{3 x-2}{(x+1)^{2}(x+3)}=\frac{11}{4(x+1)}-\frac{5}{2(x+1)^{2}}-\frac{11}{4(x+3)}$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{3 x-2}{(x+1)^{2}(x+3)} d x = \frac{11}{4} \int \frac{d x}{x+1}-\frac{5}{2} \int \frac{d x}{(x+1)^{2}}-\frac{11}{4} \int \frac{d x}{x+3}$
$= \frac{11}{4} \log |x+1| + \frac{5}{2(x+1)} - \frac{11}{4} \log |x+3| + C$
$= \frac{11}{4} \log \left|\frac{x+1}{x+3}\right| + \frac{5}{2(x+1)} + C$