$k$ का मान ज्ञात कीजिए ताकि $x^{2}+2x+k$,$2x^{4}+x^{3}-14x^{2}+5x+6$ का एक गुणनखंड हो। दोनों बहुपदों के सभी शून्यक भी ज्ञात कीजिए।

(C) दिया गया है कि $(x^{2}+2x+k)$,$2x^{4}+x^{3}-14x^{2}+5x+6$ का एक गुणनखंड है,इसलिए भाग देने पर शेषफल शून्य होना चाहिए।
$2x^{4}+x^{3}-14x^{2}+5x+6$ को $(x^{2}+2x+k)$ से भाग देने पर:
$1$. $2x^{4}$ को $x^{2}$ से भाग देने पर $2x^{2}$ प्राप्त होता है। $(x^{2}+2x+k)$ को $2x^{2}$ से गुणा करने पर $2x^{4}+4x^{3}+2kx^{2}$ प्राप्त होता है। घटाने पर $-3x^{3}-(2k+14)x^{2}+5x+6$ प्राप्त होता है।
$2$. $-3x^{3}$ को $x^{2}$ से भाग देने पर $-3x$ प्राप्त होता है। $(x^{2}+2x+k)$ को $-3x$ से गुणा करने पर $-3x^{3}-6x^{2}-3kx$ प्राप्त होता है। घटाने पर $(-8-2k)x^{2}+(3k+5)x+6$ प्राप्त होता है।
$3$. $(-8-2k)x^{2}$ को $x^{2}$ से भाग देने पर $(-8-2k)$ प्राप्त होता है। $(x^{2}+2x+k)$ को $(-8-2k)$ से गुणा करने पर $(-8-2k)x^{2} + 2(-8-2k)x + k(-8-2k)$ प्राप्त होता है।
अंतिम शेषफल: $(7k+21)x + (2k^{2}+8k+6)$ प्राप्त होता है।
शेषफल शून्य होने के लिए,दोनों गुणांक शून्य होने चाहिए:
$7k+21=0 \Rightarrow k=-3$.
$2k^{2}+8k+6=0 \Rightarrow 2(k+1)(k+3)=0 \Rightarrow k=-1$ या $k=-3$.
दोनों शर्तों को पूरा करने के लिए $k=-3$ लेते हैं।
$k=-3$ के लिए,भाजक $x^{2}+2x-3 = (x+3)(x-1)$ है,अतः इसके शून्यक $x=-3, 1$ हैं।
भागफल $2x^{2}-3x-2 = (2x+1)(x-2)$ है,अतः इसके शून्यक $x=-1/2, 2$ हैं।
अतः,$x^{2}+2x-3$ के शून्यक $1, -3$ हैं और $2x^{4}+x^{3}-14x^{2}+5x+6$ के शून्यक $1, -3, 2, -1/2$ हैं।