'$ORIENTAL$' शब्द के अक्षरों से कितने शब्द बनाए जा सकते हैं ताकि स्वर हमेशा विषम स्थानों पर आएं?

$BANANA$ शब्द के अक्षरों के उन विन्यासों की संख्या ज्ञात कीजिए जिनमें दो $N$ एक साथ न आएं।

एक छात्रवृत्ति के लिए,$2n+1$ उम्मीदवारों में से अधिकतम $n$ उम्मीदवारों का चयन किया जा सकता है। यदि छात्रवृत्ति के लिए कम से कम एक उम्मीदवार के चयन के विभिन्न तरीकों की संख्या $63$ है,तो छात्रवृत्ति के लिए चुने जा सकने वाले उम्मीदवारों की अधिकतम संख्या क्या है?

यदि अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति है,तो $1, 2, 3, 4, 5$ और $9$ अंकों का उपयोग करके $600$ से कम कितनी $3$-अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं?

मान लीजिए $A = \{a_1, a_2, a_3, ..., a_n\}$ एक समुच्चय है जिसमें $n$ अवयव हैं। इसके दो उपसमुच्चय $P$ और $Q$ स्वतंत्र रूप से बनाए जाते हैं। इन उपसमुच्चयों को बनाने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए ताकि $(P - Q)$ में ठीक $2$ अवयव हों:

$13$ क्रिकेट खिलाड़ियों में से $4$ गेंदबाज हैं। $11$ खिलाड़ियों की क्रिकेट टीम कितने तरीकों से बनाई जा सकती है जिसमें कम से कम $2$ गेंदबाज शामिल हों?