अतिपरवलय $5y^{2} - 9x^{2} = 36$ के नाभियों और शीर्षों के निर्देशांक,उत्केंद्रता और नाभिलंब की लंबाई ज्ञात कीजिए।
दिया गया समीकरण $5y^{2} - 9x^{2} = 36$ है।
$36$ से भाग देने पर,$\frac{y^{2}}{(36/5)} - \frac{x^{2}}{4} = 1$ प्राप्त होता है।
इसे मानक समीकरण $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ से तुलना करने पर,$a^{2} = \frac{36}{5}$ और $b^{2} = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,$a = \frac{6}{\sqrt{5}}$ और $b = 2$ है।
अतिपरवलय के लिए,$c^{2} = a^{2} + b^{2} = \frac{36}{5} + 4 = \frac{56}{5}$।
इसलिए,$c = \sqrt{\frac{56}{5}} = \frac{2\sqrt{14}}{\sqrt{5}}$।
नाभियों के निर्देशांक $(0, \pm c) = (0, \pm \frac{2\sqrt{14}}{\sqrt{5}})$ हैं।
शीर्षों के निर्देशांक $(0, \pm a) = (0, \pm \frac{6}{\sqrt{5}})$ हैं।
उत्केंद्रता $e = \frac{c}{a} = \frac{2\sqrt{14}/\sqrt{5}}{6/\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{14}}{3}$।
नाभिलंब की लंबाई $= \frac{2b^{2}}{a} = \frac{2 \times 4}{6/\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{3}$।
$36$ से भाग देने पर,$\frac{y^{2}}{(36/5)} - \frac{x^{2}}{4} = 1$ प्राप्त होता है।
इसे मानक समीकरण $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ से तुलना करने पर,$a^{2} = \frac{36}{5}$ और $b^{2} = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,$a = \frac{6}{\sqrt{5}}$ और $b = 2$ है।
अतिपरवलय के लिए,$c^{2} = a^{2} + b^{2} = \frac{36}{5} + 4 = \frac{56}{5}$।
इसलिए,$c = \sqrt{\frac{56}{5}} = \frac{2\sqrt{14}}{\sqrt{5}}$।
नाभियों के निर्देशांक $(0, \pm c) = (0, \pm \frac{2\sqrt{14}}{\sqrt{5}})$ हैं।
शीर्षों के निर्देशांक $(0, \pm a) = (0, \pm \frac{6}{\sqrt{5}})$ हैं।
उत्केंद्रता $e = \frac{c}{a} = \frac{2\sqrt{14}/\sqrt{5}}{6/\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{14}}{3}$।
नाभिलंब की लंबाई $= \frac{2b^{2}}{a} = \frac{2 \times 4}{6/\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{3}$।
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