જો x 0 માટે,f(x) = int_{1}^{x} frac{log_{e} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \int_{1}^{x} \frac{\ln t}{1+t} dt.$$f\left(\frac{1}{x}\right) = \int_{1}^{1/x} \frac{\ln t}{1+t} dt$ લો.ધારો કે $t = \frac{1}{u

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{2}$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \int_{1}^{x} \frac{\ln t}{1+t} dt.$$f\left(\frac{1}{x}\right) = \int_{1}^{1/x} \frac{\ln t}{1+t} dt$ લો.ધારો કે $t = \frac{1}{u},$ તેથી $dt = -\frac{1}{u^2} du.$જ્યારે $t=1, u=1$ અને જ્યારે $t=1/x, u=x.$તેથી,$f\left(\frac{1}{x}\right) = \int_{1}^{x} \frac{\ln(1/u)}{1+(1/u)} \left(-\frac{1}{u^2}\right) du = \int_{1}^{x} \frac{-\ln u}{\frac{u+1}{u}} \left(\frac{1}{u^2}\right) du = \int_{1}^{x} \frac{-\ln u}{u(1+u)} du.$હવે,$f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) = \int_{1}^{x} \frac{\ln t}{1+t} dt - \int_{1}^{x} \frac{\ln t}{t(1+t)} dt = \int_{1}^{x} \ln t \left( \frac{1}{1+t} - \frac{1}{t(1+t)} \right) dt = \int_{1}^{x} \frac{\ln t (t-1)}{t(1+t)} dt.$$x=e$ માટે ગણતરી કરતા,આનું મૂલ્ય $\frac{1}{2}$ મળે છે.

જો $x > 0$ માટે,$f(x) = \int_{1}^{x} \frac{\log_{e} t}{1+t} dt$ હોય,તો $f(e) + f\left(\frac{1}{e}\right)$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

$\int_0^{\pi /2} {\log \left( {\frac{{4 + 3\sin x}}{{4 + 3\cos x}}} \right)} \,dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

ધારો કે $g(t) = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos \left(\frac{\pi}{4} t + f(x)\right) \, dx$,જ્યાં $f(x) = \log_e \left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)$,$x \in R$. તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

$\int_{-\frac{\pi}{8092}}^{\frac{\pi}{8092}} \frac{\sec (2023 x)}{1+(2023)^{(2023 x)}} d x=$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt[3]{\sec x}}{\sqrt[3]{\sec x}+\sqrt[3]{\operatorname{cosec} x}} d x=$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module