કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે,સાબિત કરો કે $n^{3}-n$ એ $6$ વડે વિભાજ્ય છે.

(N/A) આપણે પદાવલિ $n^{3}-n$ ના અવયવો નીચે મુજબ પાડી શકીએ છીએ:
$n^{3}-n = n(n^{2}-1) = n(n-1)(n+1) = (n-1)n(n+1)$.
આ પદાવલિ ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર દર્શાવે છે.
કોઈપણ ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંકોના સમૂહમાં,ઓછામાં ઓછી એક સંખ્યા બેકી (એટલે કે $2$ વડે વિભાજ્ય) હોય છે અને બરાબર એક સંખ્યા $3$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
આ ગુણાકારમાં $2$ અને $3$ બંનેનો અવયવ હોવાથી,સમગ્ર ગુણાકાર $2 \times 3 = 6$ વડે વિભાજ્ય હોવો જોઈએ.
તેથી,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે $n^{3}-n$ એ $6$ વડે વિભાજ્ય છે.