m द्रव्यमान के चार समान कण अपने पारस्परिक गुर | vedclass

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Question

(A) $m$ द्रव्यमान वाले कणों में से किसी एक पर लगने वाले बलों पर विचार करें। मान लीजिए कि यह कण नीचे की स्थिति में है।दो निकटवर्ती कणों के बीच की दूरी

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${\left[ {\frac{{Gm}}{r}\left( {\frac{{1 + 2\sqrt 2 }}{4}} \right)} \right]^{\frac{1}{2}}}$

Vedclass · Answer

(A) $m$ द्रव्यमान वाले कणों में से किसी एक पर लगने वाले बलों पर विचार करें। मान लीजिए कि यह कण नीचे की स्थिति में है।दो निकटवर्ती कणों के बीच की दूरी $d = \sqrt{r^2 + r^2} = r\sqrt{2}$ है।इन दो कणों में से प्रत्येक द्वारा लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल $F_1 = \frac{Gm^2}{(r\sqrt{2})^2} = \frac{Gm^2}{2r^2}$ है।इन दो बलों के क्षैतिज घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं,जबकि ऊर्ध्वाधर घटक केंद्र की ओर जुड़ जाते हैं।प्रत्येक बल का ऊर्ध्वाधर घटक $F_1 \cos(45^\circ) = \frac{Gm^2}{2r^2} 	imes \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{Gm^2}{2\sqrt{2}r^2}$ है।इन दो कणों द्वारा लगाया गया कुल ऊर्ध्वाधर बल $2 	imes \frac{Gm^2}{2\sqrt{2}r^2} = \frac{Gm^2}{\sqrt{2}r^2}$ है।ऊपर स्थित कण की दूरी $2r$ है।ऊपर स्थित कण द्वारा लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल $F_2 = \frac{Gm^2}{(2r)^2} = \frac{Gm^2}{4r^2}$ है।केंद्र की ओर लगने वाला कुल शुद्ध बल $F_{net} = \frac{Gm^2}{\sqrt{2}r^2} + \frac{Gm^2}{4r^2} = \frac{Gm^2}{r^2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{4} ight) = \frac{Gm^2}{r^2} \left( \frac{2\sqrt{2} + 1}{4} ight)$ है।यह शुद्ध बल आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है: $\frac{mv^2}{r} = F_{net}$.$\frac{mv^2}{r} = \frac{Gm^2}{r^2} \left( \frac{1 + 2\sqrt{2}}{4} ight)$.$v^2 = \frac{Gm}{r} \left( \frac{1 + 2\sqrt{2}}{4} ight)$.$v = \sqrt{\frac{Gm}{r} \left( \frac{1 + 2\sqrt{2}}{4} ight)}$.

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