यदि y=y(x) अवकल समीकरण xfrac{dy}{dx} + 2y = x | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$ है।$x$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = x$ प्राप्त होता है।यह $\frac{dy}{

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$\frac{49}{16}$

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(C) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$ है।$x$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = x$ प्राप्त होता है।यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{2}{x}$ और $Q = x$ है।समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P dx} = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \ln|x|} = x^2$ है।हल $y \cdot (IF) = \int Q \cdot (IF) dx + C$ द्वारा दिया जाता है।$y \cdot x^2 = \int x \cdot x^2 dx + C = \int x^3 dx + C$.$y x^2 = \frac{x^4}{4} + C$.चूंकि $y(1) = 1$ दिया गया है,$x=1$ और $y=1$ रखने पर: $1(1)^2 = \frac{1^4}{4} + C \implies 1 = \frac{1}{4} + C \implies C = \frac{3}{4}$।अतः,हल $y x^2 = \frac{x^4 + 3}{4}$ है।$y\left(\frac{1}{2}ight)$ ज्ञात करने के लिए,$x = \frac{1}{2}$ रखने पर:$y \left(\frac{1}{4}ight) = \frac{(\frac{1}{2})^4 + 3}{4} = \frac{\frac{1}{16} + 3}{4} = \frac{49}{64} 	imes 4 = \frac{49}{16}$।

यदि $y=y(x)$ अवकल समीकरण $x\frac{dy}{dx} + 2y = x^2$ का हल है जो $y(1)=1$ को संतुष्ट करता है,तो $y\left(\frac{1}{2}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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