જો f(a+b+1-x)=f(x) તમામ x માટે હોય,જ્યાં a અન | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) ધારો કે $I = \frac{1}{a+b} \int_{a}^{b} x(f(x)+f(x+1)) dx \quad \dots(1)$ગુણધર્મ $\int_{a}^{b} g(x) dx = \int_{a}^{b} g(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:$

Vedclass · Accepted Answer

$\int_{a-1}^{b-1} f(x) dx$

Vedclass · Answer

(D) ધારો કે $I = \frac{1}{a+b} \int_{a}^{b} x(f(x)+f(x+1)) dx \quad \dots(1)$ગુણધર્મ $\int_{a}^{b} g(x) dx = \int_{a}^{b} g(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:$I = \frac{1}{a+b} \int_{a}^{b} (a+b-x)(f(a+b-x)+f(a+b-x+1)) dx$આપેલ છે કે $f(a+b+1-x) = f(x)$,તેથી $f(a+b-x) = f(x+1)$.આમ,$I = \frac{1}{a+b} \int_{a}^{b} (a+b-x)(f(x+1)+f(x)) dx \quad \dots(2)$$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:$2I = \frac{1}{a+b} \int_{a}^{b} (a+b)(f(x)+f(x+1)) dx = \int_{a}^{b} (f(x)+f(x+1)) dx$$f(a+b+1-x) = f(x)$ હોવાથી,$t = a+b+1-x$ લેતા,$dt = -dx$. જ્યારે $x=a, t=b+1$; જ્યારે $x=b, t=a+1$.$\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a+1}^{b+1} f(a+b+1-t) dt = \int_{a+1}^{b+1} f(t) dt$.આમ,$2I = \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{a}^{b} f(x+1) dx = \int_{a+1}^{b+1} f(x+1) dx + \int_{a}^{b} f(x+1) dx$. આનું સાદું રૂપ $I = \int_{a}^{b} f(x+1) dx = \int_{a-1}^{b-1} f(x) dx$ થાય છે.

જો $f(a+b+1-x)=f(x)$ તમામ $x$ માટે હોય,જ્યાં $a$ અને $b$ નિશ્ચિત ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે,તો $\frac{1}{a+b} \int_{a}^{b} x(f(x)+f(x+1)) dx$ ની કિંમત શું થાય?

Similar Questions

$\int_{-\pi}^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x} dx =$

$\int_0^{\pi /2} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \, dx$ ની કિંમત શોધો.

$\int_{-1}^{0} \frac{4x^2 + 4x + 3}{1 + e^{2x + 1}} dx = $

$\int_0^\pi \sin^2 x \cos^3 x \, dx = $ . . . . . . .

ધારો કે $I_n = \int_0^{\pi / 2} x^n \cos x \, dx$,જ્યાં $n$ એ અ-ઋણ પૂર્ણાંક છે. તો,$\sum_{n=2}^{\infty} \left( \frac{I_n}{n!} + \frac{I_{n-2}}{(n-2)!} \right)$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module