જો $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=c^{2},$ કોઈ $c > 0$ માટે,તો સાબિત કરો કે $\frac{\left[1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}{\frac{d^{2} y}{d x^{2}}}$ એ $a$ અને $b$ થી સ્વતંત્ર અચળ છે.

(N/A) આપેલ સમીકરણ: $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=c^{2}$
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{d x}[(x-a)^{2}]+\frac{d}{d x}[(y-b)^{2}]=\frac{d}{d x}(c^{2})$
$2(x-a) + 2(y-b) \cdot \frac{d y}{d x} = 0$
$\frac{d y}{d x} = -\frac{x-a}{y-b}$ --- $(1)$
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = -\frac{d}{d x} \left[ \frac{x-a}{y-b} \right] = -\frac{(y-b) \cdot 1 - (x-a) \cdot \frac{d y}{d x}}{(y-b)^{2}}$
$(1)$ માંથી $\frac{d y}{d x}$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = -\frac{(y-b) - (x-a) \cdot \left( -\frac{x-a}{y-b} \right)}{(y-b)^{2}} = -\frac{(y-b)^{2} + (x-a)^{2}}{(y-b)^{3}} = -\frac{c^{2}}{(y-b)^{3}}$
હવે,પદાવલિની કિંમત શોધતા:
$\frac{\left[1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}{\frac{d^{2} y}{d x^{2}}} = \frac{\left[1 + \frac{(x-a)^{2}}{(y-b)^{2}}\right]^{\frac{3}{2}}}{-\frac{c^{2}}{(y-b)^{3}}} = \frac{\left[\frac{(y-b)^{2} + (x-a)^{2}}{(y-b)^{2}}\right]^{\frac{3}{2}}}{-\frac{c^{2}}{(y-b)^{3}}} = \frac{\left[\frac{c^{2}}{(y-b)^{2}}\right]^{\frac{3}{2}}}{-\frac{c^{2}}{(y-b)^{3}}}$
$= \frac{\frac{c^{3}}{|y-b|^{3}}}{-\frac{c^{2}}{(y-b)^{3}}} = -c$
આમ,$-c$ એ $a$ અને $b$ થી સ્વતંત્ર અચળ છે,તેથી સાબિતી પૂર્ણ થાય છે.