यदि $3 \cot A = 4$ है,तो जाँच कीजिए कि $\frac{1 - \tan^2 A}{1 + \tan^2 A} = \cos^2 A - \sin^2 A$ है या नहीं।

(A) यह दिया गया है कि $3 \cot A = 4$ है।
अतः,$\cot A = \frac{4}{3}$ है।
एक समकोण त्रिभुज $ABC$ पर विचार करें,जिसमें कोण $B$ समकोण है।
$\cot A = \frac{\text{कोण } A \text{ की संलग्न भुजा}}{\text{कोण } A \text{ की सम्मुख भुजा}} = \frac{AB}{BC} = \frac{4}{3}$ है।
माना $AB = 4k$ और $BC = 3k$,जहाँ $k$ एक धनात्मक स्थिरांक है।
$\triangle ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$(AC)^2 = (AB)^2 + (BC)^2 = (4k)^2 + (3k)^2 = 16k^2 + 9k^2 = 25k^2$ है।
अतः,$AC = 5k$ है।
अब,$\cos A = \frac{AB}{AC} = \frac{4k}{5k} = \frac{4}{5}$ है।
$\sin A = \frac{BC}{AC} = \frac{3k}{5k} = \frac{3}{5}$ है।
$\tan A = \frac{BC}{AB} = \frac{3k}{4k} = \frac{3}{4}$ है।
बायाँ पक्ष $(LHS)$: $\frac{1 - \tan^2 A}{1 + \tan^2 A} = \frac{1 - (3/4)^2}{1 + (3/4)^2} = \frac{1 - 9/16}{1 + 9/16} = \frac{7/16}{25/16} = \frac{7}{25}$ है।
दायाँ पक्ष $(RHS)$: $\cos^2 A - \sin^2 A = (4/5)^2 - (3/5)^2 = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25}$ है।
चूँकि बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष है,इसलिए दिया गया समीकरण सत्य है।