यदि y=y(x) अवकल समीकरण (x^2-4) dy-(y^2-3y) dx | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(x^2-4) dy = (y^2-3y) dx$.चरों को अलग करने पर: $\int \frac{dy}{y(y-3)} = \int \frac{dx}{x^2-4}$.आंशिक भिन्न का उपयोग करने प

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$\frac{3}{1+(8)^{1/4}}$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(x^2-4) dy = (y^2-3y) dx$.चरों को अलग करने पर: $\int \frac{dy}{y(y-3)} = \int \frac{dx}{x^2-4}$.आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{1}{3} \int (\frac{1}{y-3} - \frac{1}{y}) dy = \frac{1}{4} \ln |\frac{x-2}{x+2}| + C$.समाकलन करने पर: $\frac{1}{3} \ln |\frac{y-3}{y}| = \frac{1}{4} \ln |\frac{x-2}{x+2}| + C$.$y(4) = \frac{3}{2}$ दिया गया है,इसलिए $x=4$ और $y=\frac{3}{2}$ रखने पर:$\frac{1}{3} \ln |\frac{3/2-3}{3/2}| = \frac{1}{4} \ln |\frac{4-2}{4+2}| + C \Rightarrow \frac{1}{3} \ln |-1| = \frac{1}{4} \ln |\frac{1}{3}| + C \Rightarrow 0 = -\frac{1}{4} \ln 3 + C \Rightarrow C = \frac{1}{4} \ln 3$.अब,$x=10$ के लिए: $\frac{1}{3} \ln |\frac{y-3}{y}| = \frac{1}{4} \ln |\frac{10-2}{10+2}| + \frac{1}{4} \ln 3 = \frac{1}{4} \ln |\frac{8}{12}| + \frac{1}{4} \ln 3 = \frac{1}{4} \ln |\frac{2}{3} 	imes 3| = \frac{1}{4} \ln 2$.अतः,$\ln |\frac{y-3}{y}| = \frac{3}{4} \ln 2 = \ln (2^{3/4}) = \ln (8^{1/4})$.चूंकि $y(4) = 1.5$ है और ढाल कभी शून्य नहीं है,$y$ का मान $(0, 3)$ में रहेगा,इसलिए $\frac{y-3}{y} = -8^{1/4}$.$y-3 = -y \cdot 8^{1/4} \Rightarrow y(1+8^{1/4}) = 3 \Rightarrow y = \frac{3}{1+8^{1/4}}$.

यदि $y=y(x)$ अवकल समीकरण $(x^2-4) dy-(y^2-3y) dx=0$,$x>2$,$y(4)=\frac{3}{2}$ का हल वक्र है और वक्र की ढाल कभी शून्य नहीं है,तो $y(10)$ का मान ज्ञात कीजिए:

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यदि $2 f(x) = f^{\prime}(x)$ और $f(0) = 3$ है,तो $f(2)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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