यदि alpha = int_0^1 left(e^{9x + 3 tan^{-1} x | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $\alpha = \int_0^1 e^{(9x + 3 	an^{-1} x)} \left(\frac{12 + 9x^2}{1 + x^2}ight) dx$. माना $t = 9x + 3 	an^{-1} x$. तब,$dt = \left(

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$9$

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(D) दिया गया है $\alpha = \int_0^1 e^{(9x + 3 	an^{-1} x)} \left(\frac{12 + 9x^2}{1 + x^2}ight) dx$. माना $t = 9x + 3 	an^{-1} x$. तब,$dt = \left(9 + \frac{3}{1 + x^2}ight) dx = \left(\frac{9(1 + x^2) + 3}{1 + x^2}ight) dx = \left(\frac{12 + 9x^2}{1 + x^2}ight) dx$. जब $x = 0$,तब $t = 9(0) + 3 	an^{-1}(0) = 0$. जब $x = 1$,तब $t = 9(1) + 3 	an^{-1}(1) = 9 + 3(\frac{\pi}{4}) = 9 + \frac{3\pi}{4}$. अतः,$\alpha = \int_0^{9 + \frac{3\pi}{4}} e^t dt = [e^t]_0^{9 + \frac{3\pi}{4}} = e^{9 + \frac{3\pi}{4}} - e^0 = e^{9 + \frac{3\pi}{4}} - 1$. इसलिए,$1 + \alpha = e^{9 + \frac{3\pi}{4}}$. प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\log_e |1 + \alpha| = 9 + \frac{3\pi}{4}$. अंत में,$\log_e |1 + \alpha| - \frac{3\pi}{4} = 9 + \frac{3\pi}{4} - \frac{3\pi}{4} = 9$.

यदि $\alpha = \int_0^1 \left(e^{9x + 3 \tan^{-1} x}\right) \left(\frac{12 + 9x^2}{1 + x^2}\right) dx$,जहाँ $\tan^{-1} x$ केवल मुख्य मान लेता है,तो $\left(\log_e |1 + \alpha| - \frac{3\pi}{4}\right)$ का मान है

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निम्नलिखित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए:
$\int_{4}^{9} \frac{\sqrt{x}}{\left(30-x^{\frac{3}{2}}\right)^{2}} d x$

$\int_{\frac{1}{3}}^1 \frac{(x-x^3)^{\frac{1}{3}}}{x^4} dx = $ . . . . . . .

$\int_1^{e^2} \frac{dx}{x(1+\log x)^2} = $

मान लीजिए $\alpha$ और $\beta$ $(\alpha < \beta)$ समीकरण $18x^2 - 9\pi x + \pi^2 = 0$,$f(x) = x^2$,और $g(x) = \cos x$ के मूल हैं। तो $\int_{\alpha}^{\beta} x (g \circ f(x)) dx =$

$\int\limits_0^{\ln 5} \frac{e^x \sqrt{e^x - 1}}{e^x + 3} dx = $

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