જો $^nC_r = ^nC_{r-1}$ અને $^nP_r = ^nP_{r+1}$ હોય,તો $n$ ની કિંમત શોધો.

જો ${}^n C_{r-1}=36$, ${}^n C_r=84$, અને ${}^n C_{r+1}=126$ હોય, તો ${}^n C_8$ ની કિંમત શોધો.

એક પ્રશ્નપત્રમાં ત્રણ વિભાગો છે,દરેક વિભાગમાં $4$ પ્રશ્નો છે. જો ઉમેદવારે આ પ્રશ્નપત્રમાંથી કુલ $5$ પ્રશ્નોના જવાબ આપવાના હોય અને દરેક વિભાગમાંથી ઓછામાં ઓછો એક પ્રશ્ન પસંદ કરવો ફરજિયાત હોય,તો ઉમેદવાર કેટલી રીતે પ્રશ્નોની પસંદગી કરી શકે?

ધારો કે $n$ એ $5$ છોકરાઓ અને $5$ છોકરીઓ એક હારમાં એવી રીતે ઊભા રહેવાની રીતોની સંખ્યા છે કે જેથી બધી છોકરીઓ ક્રમિક રીતે ઊભી રહે. ધારો કે $m$ એ $5$ છોકરાઓ અને $5$ છોકરીઓ એક હારમાં એવી રીતે ઊભા રહેવાની રીતોની સંખ્યા છે કે જેથી બરાબર ચાર છોકરીઓ ક્રમિક રીતે ઊભી રહે. તો $\frac{m}{n}$ નું મૂલ્ય શોધો.

$\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ માંથી અંકો પસંદ કરીને બનાવી શકાય તેવી $6$ વડે વિભાજ્ય પાંચ અંકની સંખ્યાઓની સંખ્યા કેટલી છે,જ્યારે પુનરાવર્તનની છૂટ હોય?

$\sum\limits_{1 < p < 100} {p! - \sum\limits_{n = 1}^{50} {(2n)!} }$ નો એકમનો અંક શોધો.