यदि int_0^a sqrt{frac{a-x}{x}} dx = frac{k}{2 | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_0^a \sqrt{\frac{a-x}{x}} dx$ है। $x = a \sin^2 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = 2a \sin 	heta \cos 	heta d	heta$ प्राप्त होता

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$\pi a$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int_0^a \sqrt{\frac{a-x}{x}} dx$ है। $x = a \sin^2 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = 2a \sin 	heta \cos 	heta d	heta$ प्राप्त होता है। जब $x = 0$,तब $	heta = 0$ और जब $x = a$,तब $	heta = \frac{\pi}{2}$। $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\frac{a - a \sin^2 	heta}{a \sin^2 	heta}} (2a \sin 	heta \cos 	heta) d	heta$ $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos 	heta}{\sin 	heta} (2a \sin 	heta \cos 	heta) d	heta$ $I = 2a \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 	heta d	heta$ सर्वसमिका $\cos^2 	heta = \frac{1 + \cos 2	heta}{2}$ का उपयोग करने पर: $I = 2a \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos 2	heta}{2} d	heta = a \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos 2	heta) d	heta$ $I = a \left[ 	heta + \frac{\sin 2	heta}{2} ight]_0^{\frac{\pi}{2}} = a \left( \frac{\pi}{2} + 0 - 0 - 0 ight) = \frac{a\pi}{2}$। दिया गया है कि $\int_0^a \sqrt{\frac{a-x}{x}} dx = \frac{k}{2}$,अतः $\frac{a\pi}{2} = \frac{k}{2}$। अतः,$k = \pi a$।

यदि $\int_0^a \sqrt{\frac{a-x}{x}} dx = \frac{k}{2}$ है,तो $k = $

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$\int_{0}^{\pi/2} \frac{x + \sin x}{1 + \cos x} dx =$

$\int_0^{\pi} (\sin^2 \frac{x}{2} - \cos^2 \frac{x}{2}) dx = $ . . . . . . .

$\int_0^{x} \frac{t^2}{\sqrt{a^2+t^2}} dt =$

यदि $\beta + 2 \int\limits_0^1 {{x^2}\,{e^{ - {x^2}}}}\, dx = \int\limits_0^1 {{e^{ - {x^2}}}}\, dx$ है,तो $\beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

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