यदि y=y(x) और left(frac{2+sin x}{y+1}right) f | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\left(\frac{2+\sin x}{y+1}\right) \frac{dy}{dx} = -\cos x$. चरों को अलग करने पर: $\frac{dy}{y+1} = -\frac{\cos x}{2+\sin x}

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$\frac{1}{3}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\left(\frac{2+\sin x}{y+1}\right) \frac{dy}{dx} = -\cos x$. चरों को अलग करने पर: $\frac{dy}{y+1} = -\frac{\cos x}{2+\sin x} dx$. दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{y+1} = -\int \frac{\cos x}{2+\sin x} dx$. माना $u = 2+\sin x$,तब $du = \cos x dx$. अतः,$\ln|y+1| = -\ln|2+\sin x| + C$. इसे सरल करने पर $\ln|y+1| + \ln|2+\sin x| = C$,या $\ln|(y+1)(2+\sin x)| = C$ प्राप्त होता है। अतः,$(y+1)(2+\sin x) = K$ (जहाँ $K = e^C$)। प्रारंभिक शर्त $y(0)=1$ का उपयोग करने पर: $(1+1)(2+\sin 0) = K \implies 2(2+0) = K \implies K = 4$. अतः,$(y+1)(2+\sin x) = 4$. अब,$y\left(\frac{\pi}{2}\right)$ ज्ञात कीजिए: $(y(\frac{\pi}{2})+1)(2+\sin(\frac{\pi}{2})) = 4$. $(y(\frac{\pi}{2})+1)(2+1) = 4$. $3(y(\frac{\pi}{2})+1) = 4$. $y(\frac{\pi}{2})+1 = \frac{4}{3}$. $y(\frac{\pi}{2}) = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$.

यदि $y=y(x)$ और $\left(\frac{2+\sin x}{y+1}\right) \frac{dy}{dx} = -\cos x$,$y(0)=1$ है,तो $y\left(\frac{\pi}{2}\right) = $

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