यदि $T_n$ एक $n$ भुजाओं वाले नियमित बहुभुज के शीर्षों का उपयोग करके बनाए जा सकने वाले त्रिभुजों की संख्या को दर्शाता है और $T_{n+1}-T_{n}=21$ है,तो $n=$

दो रेखाएँ $l_1$ और $l_2$ एक बिंदु $P$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि $A_1, B_1, C_1$ रेखा $l_1$ पर स्थित बिंदु हैं और $A_2, B_2, C_2, D_2, E_2$ रेखा $l_2$ पर स्थित बिंदु हैं,और इनमें से कोई भी बिंदु $P$ के साथ संपाती नहीं है,तो इन $8$ बिंदुओं का उपयोग करके कितने त्रिभुज बनाए जा सकते हैं?

बिंदु $A$ से $D$ तक सबसे छोटे पथों की संख्या (जैसा कि चित्र में दिखाया गया है) है:

मान लीजिए $T_n$ उन त्रिभुजों की संख्या को दर्शाता है जिन्हें $n$ भुजाओं वाले एक नियमित बहुभुज के शीर्षों का उपयोग करके बनाया जा सकता है। यदि $T_{n+1} - T_n = 21$ है,तो $n$ का मान क्या है?

एक आयत $ABCD$ पर विचार करें जिसमें रेखाखंड $AB, BC, CD, DA$ के आंतरिक भाग में क्रमशः $5, 6, 7, 9$ बिंदु हैं। मान लीजिए $\alpha$ अलग-अलग भुजाओं से इन बिंदुओं को शीर्ष के रूप में लेकर बनने वाले त्रिभुजों की संख्या है और $\beta$ अलग-अलग भुजाओं से इन बिंदुओं को शीर्ष के रूप में लेकर बनने वाले चतुर्भुजों की संख्या है। तो $(\beta-\alpha)$ का मान ज्ञात कीजिए:

कथन-$1$: यदि एक बहुभुज में $45$ विकर्ण हैं,तो भुजाओं की संख्या $10$ है। कथन-$2$: $n$ असंरेख बिंदुओं में से $2$ बिंदुओं को $^nC_2$ तरीकों से चुना जा सकता है।