यदि $A = \begin{vmatrix} -1 & 2 & 4 \\ 3 & 1 & 0 \\ -2 & 4 & 2 \end{vmatrix}$ और $B = \begin{vmatrix} -2 & 4 & 2 \\ 6 & 2 & 0 \\ -2 & 4 & 8 \end{vmatrix}$ है,तो $B$ किसके बराबर है?

मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}$ है। यदि $M$ और $N$ दो आव्यूह $M = \sum_{k=1}^{10} A^{2k}$ और $N = \sum_{k=1}^{10} A^{2k-1}$ द्वारा दिए गए हैं,तो $MN^2$ क्या है?

$-3 x^4 + \operatorname{det}\begin{bmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & x^2 & x^4 \\ 1 & x^3 & x^6 \end{bmatrix} = 0$ को संतुष्ट करने वाले पूर्णांकों $x$ की संख्या क्या है?

मान लीजिए कि $A$ क्रम $2$ का एक वर्ग आव्यूह है,जहाँ $|A|=2$ और इसके विकर्ण तत्वों का योग $-3$ है। यदि $A^2+xA+yI=0$ को संतुष्ट करने वाले बिंदु $(x, y)$ एक अतिपरवलय पर स्थित हैं,जिसका अनुप्रस्थ अक्ष $x$-अक्ष के समानांतर है,उत्केंद्रता $e$ है और नाभिलंब की लंबाई $\ell$ है,तो $e^4+\ell^4$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $P$ और $Q$ समान कोटि के दो व्युत्क्रमणीय आव्यूह इस प्रकार हैं कि $Q^r = I$,किसी पूर्णांक $r > 1$ के लिए,तो $P^{-1}Q^{r-1}P - P^{-1}Q^{-1}P$ किसके बराबर है? (जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह है और $O$ शून्य आव्यूह है)।

यदि $P = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}$,$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ और $Q = PAP^T$ है,तो $P^T(Q^{2005})P$ का मान ज्ञात कीजिए।