यदि $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ है,तो ${A^4} = $

$A$ और $B$ दो दिए गए आव्यूह हैं जिनका क्रम $A$ का $3 \times 4$ है। यदि $A'B$ और $BA'$ दोनों परिभाषित हैं,तो:

मान लीजिए कि $P$, $\mathbb{R}$ पर $3$ क्रम के सभी व्युत्क्रमणीय (non-singular) आव्यूहों का समुच्चय है और $Q$, $\mathbb{R}$ पर $3$ क्रम के सभी लांबिक (orthogonal) आव्यूहों का समुच्चय है। तब,

$3 \times 3$ आव्यूहों की संख्या ज्ञात कीजिए जिनके सभी अवयव या तो $2$ हैं या $9$ हैं।

आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 4 & 6 & -1 \\ 3 & 0 & 2 \\ 1 & -2 & 5 \end{bmatrix}$,$B = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 0 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$,और $C = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ पर विचार करें। निम्नलिखित में से कौन से आव्यूह गुणन परिभाषित हैं?
$(i) (AB)^T C$
$(ii) C^T C (AB)^T$
$(iii) C^T AB$
$(iv) A^T AB B^T C$

यदि $P = \begin{bmatrix} \cos \frac{\pi}{4} & -\sin \frac{\pi}{4} \\ \sin \frac{\pi}{4} & \cos \frac{\pi}{4} \end{bmatrix}$ और $X = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$ है, तो $P^3 X$ का मान ज्ञात कीजिए।