यदि f(x) = begin{cases} frac{1-sin^3 x}{3 cos | vedclass

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Question

(C) चूंकि $f(x)$ बिंदु $x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत है,इसलिए $LHL = RHL = f(\frac{\pi}{2})$ होगा।सबसे पहले,$LHL$ ज्ञात करें:$LHL = \lim_{x 	o \frac{\pi

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$2$

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(C) चूंकि $f(x)$ बिंदु $x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत है,इसलिए $LHL = RHL = f(\frac{\pi}{2})$ होगा।सबसे पहले,$LHL$ ज्ञात करें:$LHL = \lim_{x 	o \frac{\pi^-}{2}} \frac{1-\sin^3 x}{3 \cos^2 x}$. यह $\frac{0}{0}$ रूप है।$L$'Hospital नियम का उपयोग करने पर:$\lim_{x 	o \frac{\pi^-}{2}} \frac{-3 \sin^2 x \cos x}{3(2 \cos x)(-\sin x)} = \lim_{x 	o \frac{\pi^-}{2}} \frac{\sin x}{2} = \frac{1}{2}$.अतः,$\alpha = \frac{1}{2}$.अब,$RHL$ ज्ञात करें:$RHL = \lim_{x 	o \frac{\pi^+}{2}} \frac{\beta(1-\sin x)}{(\pi-2 x)^2} = \frac{1}{2}$.मान लीजिए $x = \frac{\pi}{2} + h$,जहाँ $h 	o 0$. तो $\pi - 2x = -2h$.$\lim_{h 	o 0} \frac{\beta(1-\sin(\frac{\pi}{2} + h))}{(-2h)^2} = \lim_{h 	o 0} \frac{\beta(1-\cos h)}{4h^2} = \frac{1}{2}$.सीमा सूत्र $\lim_{h 	o 0} \frac{1-\cos h}{h^2} = \frac{1}{2}$ का उपयोग करने पर:$\frac{\beta}{4} 	imes \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \implies \frac{\beta}{8} = \frac{1}{2} \implies \beta = 4$.इसलिए,$\alpha \beta = \frac{1}{2} 	imes 4 = 2$.

यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{1-\sin^3 x}{3 \cos^2 x}, & x < \frac{\pi}{2} \\ \alpha, & x = \frac{\pi}{2} \\ \frac{\beta(1-\sin x)}{(\pi-2 x)^2}, & x > \frac{\pi}{2} \end{cases}$ बिंदु $x = \frac{\pi}{2}$ पर सतत है,तो $\alpha \beta =$

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फलन $f$ की सांतत्यता (continuity) पर चर्चा कीजिए,जो इस प्रकार दिया गया है:
$f(x) = \begin{cases} x, & \text{यदि } x \ge 0 \\ x^2, & \text{यदि } x < 0 \end{cases}$

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} x^2 + k, & \text{जब } x \ge 0 \\ -x^2 - k, & \text{जब } x < 0 \end{cases}$ है। यदि फलन $f(x)$,$x = 0$ पर संतत है,तो $k =$

एक फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{e^{1/x}-1}{e^{1/x}+1}, & \text{यदि } x \neq 0 \\ 0, & \text{यदि } x=0 \end{cases}$ है।

निम्नलिखित फलन की सांतत्यता की जाँच कीजिए: $f(x) = \frac{x^{2} - 25}{x + 5}, x \neq -5$.

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