यदि f: R rightarrow R को f(x) = begin{cases} | vedclass

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Question

(B) किसी फलन के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$x \rightarrow 0$ पर $f(x)$ की सीमा $f(0)$ के बराबर होनी चाहिए।यहाँ $f(0) = k$ दिया गया है।हम $\lim_{x \right

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(B) किसी फलन के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$x \rightarrow 0$ पर $f(x)$ की सीमा $f(0)$ के बराबर होनी चाहिए।यहाँ $f(0) = k$ दिया गया है।हम $\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1+3x^2-\cos 2x}{x^2}$ की गणना करते हैं।सर्वसमिका $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ का उपयोग करने पर:$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1+3x^2-(1-2\sin^2 x)}{x^2} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1+3x^2-1+2\sin^2 x}{x^2}$.$= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{3x^2+2\sin^2 x}{x^2} = \lim_{x \rightarrow 0} \left( 3 + 2\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 \right)$.चूंकि $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$,इसलिए:$= 3 + 2(1)^2 = 3 + 2 = 5$.अतः,सांतत्य के लिए $k = 5$ होगा।

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यदि $f(x) = \begin{cases} \frac{\cos(ax) - \cos(bx)}{x^2}, & x \neq 0 \\ \frac{1}{2}(b^2 - a^2), & x = 0 \end{cases}$ जहाँ $a$ और $b$ वास्तविक और भिन्न स्थिरांक हैं,तो:

यदि फलन $f(x) = \frac{4\sqrt{2}(\sin 3x + \sin x)}{2 \sin 2x \sin \frac{3x}{2} + \cos \frac{5x}{2} - \cos \frac{3x}{2}}$, जहाँ $x \neq \frac{\pi}{2}$, $x = \frac{\pi}{2}$ पर संतत है, तो $f(\frac{\pi}{2})$ का मान है

यदि $f(x) = |x - 2|$ है,तो

फलन $f(x) = \begin{cases} sgn([x]) & x \notin I \\ [sgn(x)] & x \in I \end{cases}$ है (जहाँ $sgn()$ सिग्नम फलन को दर्शाता है और $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है):

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