यदि $A = \int_{1}^{\sin \theta} \frac{t}{1+t^2} dt$ और $B = \int_{1}^{\operatorname{cosec} \theta} \frac{1}{t(1+t^2)} dt$ है,तो $\left| \begin{array}{ccc} A & A^2 & B \\ e^{A+B} & B^2 & -1 \\ 1 & A^2+B^2 & -1 \end{array} \right|$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $P = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}$,$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ और $Q = PAP^T$ है,तो $P^T(Q^{2005})P$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 2 & -5 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$ है। यदि $f(x) = x^3 - 2x^2 - 5$ है,तो $f(A)$ क्या होगा?

यदि आव्यूह $A$ के अवयव आव्यूह $\left[\begin{array}{ccc}1 & \omega & \omega^{2} \\ \omega & \omega^{2} & 1 \\ \omega^{2} & 1 & \omega\end{array}\right]$ के अवयवों के व्युत्क्रम हैं,जहाँ $\omega$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल है,तो:

मान लीजिए $A$ और $B$ $3 \times 3$ वास्तविक आव्यूह हैं,जहाँ $A$ एक सममित आव्यूह है और $B$ एक विषम-सममित आव्यूह है। तो रैखिक समीकरण निकाय $(A^{2}B^{2} - B^{2}A^{2})X = O$,जहाँ $X$ अज्ञात चरों का $3 \times 1$ स्तंभ आव्यूह है और $O$ एक $3 \times 1$ शून्य आव्यूह है,के ....... हैं।

मान लीजिए $A=I_2-2 MM^{T}$,जहाँ $M$ क्रम $2 \times 1$ का एक वास्तविक आव्यूह है ताकि संबंध $M^T M=I_1$ सत्य हो। यदि $\lambda$ एक ऐसी वास्तविक संख्या है कि $2 \times 1$ क्रम के किसी शून्येतर वास्तविक आव्यूह $X$ के लिए संबंध $AX=\lambda X$ सत्य है,तो $\lambda$ के सभी संभावित मानों के वर्गों का योग किसके बराबर है?