यदि $\int_0^{2 \pi}\left(\sin ^4 x+\cos ^4 x\right) d x=K \int_0^\pi \sin ^2 x d x+L \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos ^2 x d x$ और $K, L \in N$ है,तो संभावित क्रमित युग्मों $(K, L)$ की संख्या क्या है?

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ एक फलन है जिसे $f(x) = a \sin \left(\frac{\pi[x]}{2}\right) + [2-x]$,$a \in R$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जहाँ $[t]$,$t$ से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक है। यदि $\lim_{x \rightarrow -1} f(x)$ का अस्तित्व है,तो $\int_{0}^{4} f(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि परवलय $y = ax^2 + bx + c$ के शीर्ष का भुज $1$ $(a, b, c > 0)$ है और $f(x) = \int_0^x (3at^2 + bt + c) dt$ एक निरंतर वर्धमान फलन है $\forall x \in R$ के लिए,तो $[\frac{a}{c}]$ का अधिकतम संभव मान क्या है (जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है)?

मान लीजिए $f^{\prime}(x)=\frac{192 x^3}{2+\sin ^4 \pi x}$ सभी $x \in R$ के लिए है,जहाँ $f\left(\frac{1}{2}\right)=0$ है। यदि $m \leq \int_{1 / 2}^1 f(x) d x \leq M$ है,तो $m$ और $M$ के संभावित मान क्या हैं?

$x \in R \setminus \{0\}$ के लिए समीकरण $6 \int_{0}^{|x|} ((t^2-1) \ln t) dt = 5|x|$ के हलों की संख्या क्या है?

यदि $I_n = \int_{0}^{1} \frac{dx}{(1 + x^2)^n}$; $n \in N$,तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?