જો C_r એ દ્વિપદી સહગુણક { }^{n} C_r દર્શાવતું | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ પદાવલિ ધ્યાનમાં લો: $S = \sum_{r=0}^n (3r-1) C_r^2$.આપણે જાણીએ છીએ કે $C_r^2 = C_r \cdot C_{n-r}$.તેથી,$S = 3 \sum_{r=0}^n r C_r^2 - \sum_{r=

Vedclass · Accepted Answer

$\left(\frac{3 n-2}{2}\right){ }^{2 n} C_n$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ પદાવલિ ધ્યાનમાં લો: $S = \sum_{r=0}^n (3r-1) C_r^2$.આપણે જાણીએ છીએ કે $C_r^2 = C_r \cdot C_{n-r}$.તેથી,$S = 3 \sum_{r=0}^n r C_r^2 - \sum_{r=0}^n C_r^2$.નિત્યસમ $\sum_{r=0}^n C_r^2 = { }^{2n} C_n$ અને $r C_r = n { }^{n-1} C_{r-1}$ નો ઉપયોગ કરતા:$S = 3 \sum_{r=1}^n n { }^{n-1} C_{r-1} C_r - { }^{2n} C_n$.$S = 3n \sum_{r=1}^n { }^{n-1} C_{r-1} { }^{n} C_{n-r} - { }^{2n} C_n$.સરવાળો $\sum_{r=1}^n { }^{n-1} C_{r-1} { }^{n} C_{n-r}$ એ $(1+x)^{n-1}(1+x)^n = (1+x)^{2n-1}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{n-1}$ નો સહગુણક છે,જે ${ }^{2n-1} C_{n-1}$ છે.આમ,$S = 3n { }^{2n-1} C_{n-1} - { }^{2n} C_n$.કારણ કે ${ }^{2n-1} C_{n-1} = \frac{n}{2n} { }^{2n} C_n = \frac{1}{2} { }^{2n} C_n$,તેથી:$S = 3n \left( \frac{1}{2} { }^{2n} C_n \right) - { }^{2n} C_n = \left( \frac{3n}{2} - 1 \right) { }^{2n} C_n = \left( \frac{3n-2}{2} \right) { }^{2n} C_n$.

જો $C_r$ એ દ્વિપદી સહગુણક ${ }^{n} C_r$ દર્શાવતું હોય,તો $(-1) C_0^2+2 C_1^2+5 C_2^2+\ldots+(3 n-1) C_n^2$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

જો $(1 + x - 3x^2)^{2145} = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots$ હોય,તો $a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \dots$ નો છેલ્લો અંક કયો હશે?

$\sum\limits_{n = 0}^4 {{{\left( {1009 - 2n} \right)}^4} \binom{4}{n} {\left( { - 1} \right)^n}}$ ની કિંમત શું છે?

List-$I$ નું List-$II$ સાથેનું સાચું જોડાણ કયું છે?

જો $(1+x+x^2+x^3)^5 = \sum_{k=0}^{15} a_k x^k$ હોય, તો $\sum_{k=0}^7 (-1)^k a_{2k}$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module