જો $a, b, c$ એકમ સદિશો હોય કે જેથી $a + b + c = 0$ થાય,તો $a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a = $

$a = 4 \hat{i} + 3 \hat{j}$ અને $b$ એ $XOY$ સમતલમાં બે સદિશો છે, અને $a$ એ $b$ ને લંબ છે. તે જ સમતલમાં રહેલો અને અનુક્રમે $a$ અને $b$ પર $1$ અને $2$ પ્રક્ષેપ ધરાવતો સદિશ $c$ કયો છે?

ધારો કે $\hat{a}$ અને $\hat{b}$ બે એકમ સદિશો છે જેથી તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{4}$ છે. જો $\theta$ એ સદિશો $(\hat{a}+\hat{b})$ અને $(\hat{a}+2 \hat{b}+2(\hat{a} \times \hat{b}))$ વચ્ચેનો ખૂણો હોય,તો $164 \cos ^{2} \theta$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $PQR$ એક ત્રિકોણ છે. બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ અનુક્રમે બાજુઓ $QR, RP$ અને $PQ$ પર એવી રીતે આવેલા છે કે જેથી $\frac{QA}{AR} = \frac{RB}{BP} = \frac{PC}{CQ} = \frac{1}{2}$ થાય. તો $\frac{\operatorname{Area}(\triangle PQR)}{\operatorname{Area}(\triangle ABC)}$ ની કિંમત $........$ છે.

વિધાન $(A)$: $a, b, c, d$ એ $4$ બિંદુઓના સ્થાન સદિશો છે જેથી $2a - 3b + 7c - 6d = 0 \Rightarrow a, b, c, d$ સમતલીય છે.
કારણ $(R)$: $a, b, c$ સ્થાન સદિશો ધરાવતા ત્રણ બિંદુઓમાંથી પસાર થતા સમતલનું સદિશ સમીકરણ $r = (1 - x - y)a + xb + yc$ છે.
નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

બળ $F = 2i - 3j + 2k$ દ્વારા કણને બિંદુ $(3, 4, 5)$ થી બિંદુ $(1, 2, 3)$ સુધી સ્થાનાંતરિત કરવામાં થતું કાર્ય ............ $unit$ છે.