જો $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ અને $\vec{b} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની પાસપાસેની બાજુઓ દર્શાવતા હોય,તો આ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

જો $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ પાસપાસેની બાજુઓ હોય તેવા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $16$ ચોરસ એકમ હોય,તો $3 \bar{a}+2 \bar{b}$ અને $\bar{a}+3 \bar{b}$ પાસપાસેની બાજુઓ હોય તેવા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) કેટલું થાય?

જો $|\overline{a}|=3$,$|\overline{b}|=5$,$\overline{b} \cdot \overline{c}=10$,$\overline{b}$ અને $\overline{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{3}$ હોય,અને $\overline{a}$ એ $\overline{b} \times \overline{c}$ ને લંબ હોય,તો $|\overline{a} \times(\overline{b} \times \overline{c})|$ નું મૂલ્ય શોધો.

$A(1, 2, 3)$,$B(1, 3, a)$,$C(3, 8, 6)$ અને $D(3, 7, 3)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\sqrt{265}$ ચોરસ એકમ છે,તો $a=$

જો $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=0$ હોય,તો સાબિત કરો કે $\vec{a} \times \vec{b}=\vec{b} \times \vec{c}=\vec{c} \times \vec{a} .$ આ પરિણામનું ભૌમિતિક અર્થઘટન કરો.

જો $\vec{a}=\overrightarrow{0}$ અથવા $\vec{b}=\overrightarrow{0}$ હોય,તો $\vec{a} \times \vec{b}=\overrightarrow{0}$ થાય. શું તેનું પ્રતિપ વિધાન સત્ય છે? ઉદાહરણ આપીને તમારા જવાબનું સમર્થન કરો.