यदि 0 leq A leq frac{pi}{4} है, तो tan ^{-1}l | vedclass

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Question

(C) माना $S = 	an ^{-1}\left(\frac{1}{2} 	an 2 Aight)+	an ^{-1}(\cot A)+	an ^{-1}(\cot ^{3} A)$ है।सर्वसमिका $	an ^{-1} x + 	an ^{-1} y = 	an

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$0$

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(C) माना $S = 	an ^{-1}\left(\frac{1}{2} 	an 2 Aight)+	an ^{-1}(\cot A)+	an ^{-1}(\cot ^{3} A)$ है।सर्वसमिका $	an ^{-1} x + 	an ^{-1} y = 	an ^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}ight)$ का उपयोग करते हुए:$	an ^{-1}(\cot A) + 	an ^{-1}(\cot ^{3} A) = 	an ^{-1}\left(\frac{\cot A + \cot ^{3} A}{1 - \cot A \cdot \cot ^{3} A}ight) = 	an ^{-1}\left(\frac{\cot A(1 + \cot ^{2} A)}{1 - \cot ^{4} A}ight)$।चूंकि $1 - \cot ^{4} A = (1 - \cot ^{2} A)(1 + \cot ^{2} A)$, इसलिए व्यंजक इस प्रकार सरल होता है:$	an ^{-1}\left(\frac{\cot A}{1 - \cot ^{2} A}ight) = 	an ^{-1}\left(\frac{1/	an A}{1 - 1/	an ^{2} A}ight) = 	an ^{-1}\left(\frac{	an A}{	an ^{2} A - 1}ight) = -	an ^{-1}\left(\frac{	an A}{1 - 	an ^{2} A}ight)$।अब, $\frac{1}{2} 	an 2 A = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 	an A}{1 - 	an ^{2} A} = \frac{	an A}{1 - 	an ^{2} A}$।अतः, $S = 	an ^{-1}\left(\frac{	an A}{1 - 	an ^{2} A}ight) - 	an ^{-1}\left(\frac{	an A}{1 - 	an ^{2} A}ight) = 0$।

यदि $0 \leq A \leq \frac{\pi}{4}$ है, तो $\tan ^{-1}\left(\frac{1}{2} \tan 2 A\right)+\tan ^{-1}(\cot A)+\tan ^{-1}(\cot ^{3} A)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $\sin ^{-1} x + \sin ^{-1}(1-x) = \cos ^{-1} x$ है, तो $x \in$

$\cot^{-1}(1) + \cot^{-1} (\frac{1}{2}) + \cot^{-1}(\frac{1}{3}) =$

$\pi + \left(\sin^{-1} \frac{4}{5} + \sin^{-1} \frac{5}{13} + \sin^{-1} \frac{16}{65}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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