यदि int frac{sin 2 x}{(a+b cos x)^{2}} d x=al | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int \frac{\sin 2 x}{(a+b \cos x)^{2}} d x$ है। सर्वसमिका $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करने पर, $I = \int \frac{2 \sin x \cos x}

Vedclass · Accepted Answer

$-\frac{2}{b^{2}}$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int \frac{\sin 2 x}{(a+b \cos x)^{2}} d x$ है। सर्वसमिका $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करने पर, $I = \int \frac{2 \sin x \cos x}{(a+b \cos x)^{2}} d x$ प्राप्त होता है। माना $t = a + b \cos x$ है। तब $dt = -b \sin x \, dx$, जिसका अर्थ है कि $\sin x \, dx = -\frac{dt}{b}$ है। साथ ही, $t = a + b \cos x$ से, $\cos x = \frac{t-a}{b}$ प्राप्त होता है। इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int \frac{2 (\frac{t-a}{b})}{t^2} \cdot (-\frac{dt}{b}) = -\frac{2}{b^2} \int \frac{t-a}{t^2} \, dt$। $I = -\frac{2}{b^2} \int (\frac{1}{t} - \frac{a}{t^2}) \, dt$। $I = -\frac{2}{b^2} [\ln |t| + \frac{a}{t}] + c$। $t = a + b \cos x$ को वापस रखने पर: $I = -\frac{2}{b^2} [\ln |a + b \cos x| + \frac{a}{a + b \cos x}] + c$। दी गई अभिव्यक्ति $\alpha [\log _{e}|a+b \cos x|+\frac{a}{a+b \cos x}]+c$ के साथ तुलना करने पर, हमें $\alpha = -\frac{2}{b^2}$ प्राप्त होता है।

यदि $\int \frac{\sin 2 x}{(a+b \cos x)^{2}} d x=\alpha\left[\log _{e}|a+b \cos x|+\frac{a}{a+b \cos x}\right]+c$ है, तो $\alpha=$

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