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Question

(A) दिया गया पद $T_r = \frac{r}{r^4+r^2+1}$ है।सर्वसमिका $r^4+r^2+1 = (r^2+r+1)(r^2-r+1)$ का उपयोग करने पर:$T_r = \frac{r}{(r^2+r+1)(r^2-r+1)} = \frac

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$976$

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(A) दिया गया पद $T_r = \frac{r}{r^4+r^2+1}$ है।सर्वसमिका $r^4+r^2+1 = (r^2+r+1)(r^2-r+1)$ का उपयोग करने पर:$T_r = \frac{r}{(r^2+r+1)(r^2-r+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{r^2-r+1} - \frac{1}{r^2+r+1} \right)$.माना $f(r) = \frac{1}{r^2-r+1}$, तब $f(r+1) = \frac{1}{r^2+r+1}$.अतः, $T_r = \frac{1}{2} (f(r) - f(r+1))$.योग $S = \sum_{r=1}^{25} T_r = \frac{1}{2} (f(1) - f(26))$.$f(1) = 1$ और $f(26) = \frac{1}{651}$.$S = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{651}) = \frac{325}{651}$.यहाँ $p=325$ और $q=651$ है, इसलिए $p+q = 325 + 651 = 976$.

यदि $\sum_{r=1}^{25} \left( \frac{r}{r^{4}+r^{2}+1} \right) = \frac{p}{q}$ जहाँ $p$ और $q$ धनात्मक पूर्णांक हैं और $\gcd(p,q)=1$, तो $p+q$ का मान . . . . . . है।

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