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Question

(C) माना $I = \int_0^\pi {e^{\cos^2 x} \cos^3((2n + 1)x)} \, dx$. गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a - x) \, dx$ का उपयोग करने पर: $I = \int_

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(C) माना $I = \int_0^\pi {e^{\cos^2 x} \cos^3((2n + 1)x)} \, dx$. गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a - x) \, dx$ का उपयोग करने पर: $I = \int_0^\pi {e^{\cos^2(\pi - x)} \cos^3((2n + 1)(\pi - x))} \, dx$. चूंकि $\cos(\pi - x) = -\cos x$,इसलिए $\cos^2(\pi - x) = \cos^2 x$. साथ ही,$\cos((2n + 1)(\pi - x)) = \cos((2n + 1)\pi - (2n + 1)x) = \cos((2n + 1)\pi) \cos((2n + 1)x) + \sin((2n + 1)\pi) \sin((2n + 1)x)$. चूंकि $(2n + 1)$ एक विषम पूर्णांक है,$\cos((2n + 1)\pi) = -1$ और $\sin((2n + 1)\pi) = 0$. अतः,$\cos((2n + 1)(\pi - x)) = -\cos((2n + 1)x)$. इसलिए,$\cos^3((2n + 1)(\pi - x)) = (-\cos((2n + 1)x))^3 = -\cos^3((2n + 1)x)$. इस मान को समाकलन में रखने पर,हमें $I = \int_0^\pi e^{\cos^2 x} (-\cos^3((2n + 1)x)) \, dx = -I$ प्राप्त होता है। $2I = 0 \implies I = 0$.

यदि $n$ कोई पूर्णांक है,तो $\int_0^\pi {e^{\cos^2 x} \cos^3((2n + 1)x)} \, dx = $

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मान लीजिए $L = \sqrt[3]{2012} + \sqrt[3]{2013} + \ldots + \sqrt[3]{3011}$,$R = \sqrt[3]{2013} + \sqrt[3]{2014} + \ldots + \sqrt[3]{3012}$,और $I = \int_{2012}^{3012} \sqrt[3]{x} \, dx$. तब,

$\int_1^3 \frac{\log x^2}{\log \left(16 x^2-8 x^3+x^4\right)} d x=\ldots$

यदि $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos(\sin x) \,dx$,$J = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(\cos x) \,dx$,और $K = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x \,dx$ है,तो:

$\int_2^8 \frac{5^{\sqrt{10-x}}}{5^{\sqrt{x}}+5^{\sqrt{10-x}}} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{\sqrt[n]{\sec x}}{\sqrt[n]{\sec x} + \sqrt[n]{\operatorname{cosec} x}} \right) dx = $

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