यदि $A$ और $B$ दो घटनाएँ हैं,तो इस घटना की प्रायिकता कि $A$ और $B$ में से अधिकतम एक घटित हो,क्या होगी?

फुटबॉल टीमें $T_1$ और $T_2$ एक-दूसरे के खिलाफ दो मैच खेलती हैं। दोनों मैचों के परिणाम स्वतंत्र हैं। $T_1$ के $T_2$ के खिलाफ जीतने,ड्रा करने और हारने की प्रायिकताएं क्रमशः $\frac{1}{2}$,$\frac{1}{6}$ और $\frac{1}{3}$ हैं। प्रत्येक टीम को जीत के लिए $3$ अंक,ड्रा के लिए $1$ अंक और हार के लिए $0$ अंक मिलते हैं। मान लीजिए $X$ और $Y$ दो मैचों के बाद क्रमशः $T_1$ और $T_2$ टीमों द्वारा प्राप्त कुल अंक दर्शाते हैं।
$(1)$ $P(X>Y)$ क्या है?
$(A)$ $\frac{1}{4}$ $(B)$ $\frac{5}{12}$ $(C)$ $\frac{1}{2}$ $(D)$ $\frac{7}{12}$
$(2)$ $P(X=Y)$ क्या है?
$(A)$ $\frac{11}{36}$ $(B)$ $\frac{1}{3}$ $(C)$ $\frac{13}{36}$ $(D)$ $\frac{1}{2}$

दो निष्पक्ष पासों को तब तक उछाला जाता है जब तक कि योग $5$ या $7$ प्राप्त न हो जाए। तो $5$ के $7$ से पहले आने की प्रायिकता क्या है?

एक बॉक्स $B_1$ में $1$ सफेद गेंद,$3$ लाल गेंदें और $2$ काली गेंदें हैं। दूसरे बॉक्स $B_2$ में $2$ सफेद गेंदें,$3$ लाल गेंदें और $4$ काली गेंदें हैं। तीसरे बॉक्स $B_3$ में $3$ सफेद गेंदें,$4$ लाल गेंदें और $5$ काली गेंदें हैं।
$1.$ यदि प्रत्येक बॉक्स $B_1, B_2$ और $B_3$ में से $1$ गेंद निकाली जाती है,तो तीनों गेंदों के एक ही रंग के होने की प्रायिकता क्या है?
$(A)$ $\frac{82}{648}$ $(B)$ $\frac{90}{648}$ $(C)$ $\frac{558}{648}$ $(D)$ $\frac{566}{648}$
$2.$ यदि यादृच्छिक रूप से चुने गए बॉक्स से $2$ गेंदें (बिना प्रतिस्थापन के) निकाली जाती हैं और उनमें से एक गेंद सफेद और दूसरी लाल है,तो इन $2$ गेंदों के बॉक्स $B_2$ से निकाले जाने की प्रायिकता क्या है?
$(A)$ $\frac{116}{181}$ $(B)$ $\frac{126}{181}$ $(C)$ $\frac{65}{181}$ $(D)$ $\frac{55}{181}$
प्रश्न $1$ और $2$ के लिए सही विकल्प चुनें।

$A, B, C$ परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं जहाँ $P(A) = \frac{3x+1}{3}$, $P(B) = \frac{1-x}{4}$ और $P(C) = \frac{1-2x}{2}$ है। तो $x$ के संभावित मानों का समुच्चय है:

स्तंभ-$I$ में दिए गए कथनों को स्तंभ-$II$ के साथ सुमेलित कीजिए।

स्तंभ-$I$	स्तंभ-$II$
$(A)$ मूल बिंदु से जाने वाली एक रेखा,रेखाओं $\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z+1}{1}$ और $\frac{x-\frac{8}{3}}{2}=\frac{y+3}{-1}=\frac{z-1}{1}$ को क्रमशः $P$ और $Q$ पर मिलती है। यदि लंबाई $PQ=d$ है,तो $d^2$ है	$(p)$ $-4$
$(B)$ $\tan ^{-1}(x+3)-\tan ^{-1}(x-3)=\sin ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$ को संतुष्ट करने वाले $x$ के मान हैं	$(q)$ $0$
$(C)$ शून्येतर सदिश $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ समीकरणों $\vec{a} \cdot \vec{b}=0$,$(\vec{b}-\vec{a}) \cdot(\vec{b}+\vec{c})=0$ और $2|\vec{b}+\vec{c}|=|\vec{b}-\vec{a}|$ को संतुष्ट करते हैं। यदि $\vec{a}=\mu \vec{b}+4 \vec{c}$ है,तो $\mu$ के संभावित मान हैं	$(r)$ $4$
$(D)$ मान लीजिए $f$ अंतराल $[-\pi, \pi]$ पर एक फलन है,जहाँ $f(0)=9$ और $x \neq 0$ के लिए $f(x)=\frac{\sin \left(\frac{9 x}{2}\right)}{\sin \left(\frac{x}{2}\right)}$ है। $\frac{2}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) dx$ का मान है	$(s)$ $5$
	$(t)$ $6$