यदि $v_e$ पलायन वेग (escape velocity) है और $v_0$ पृथ्वी की सतह के निकट कक्षा में किसी उपग्रह का कक्षीय वेग (orbital velocity) है,तो इनके बीच क्या संबंध है?

एक वस्तु को पृथ्वी की सतह से पृथ्वी के पलायन वेग के $x$ गुना वेग $(x < 1)$ से ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंका जाता है। पृथ्वी के केंद्र से वह अधिकतम ऊँचाई क्या है जहाँ तक वह पहुँचती है? (पृथ्वी की त्रिज्या $R$ है)

पृथ्वी की सतह से एक पिंड को ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर प्रक्षेपित करने के लिए आवश्यक प्रारंभिक वेग $v_{i}$ ताकि वह $10 R$ की ऊँचाई तक पहुँच सके,जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है,को पलायन वेग $v_{e}$ के पदों में $v_{i} = \sqrt{\frac{x}{y}} \times v_{e}$ के रूप में वर्णित किया जा सकता है। $x$ का मान ...... होगा।

पृथ्वी की त्रिज्या और चंद्रमा की त्रिज्या का अनुपात $10$ है। पृथ्वी और चंद्रमा पर गुरुत्वीय त्वरण का अनुपात $6$ है। पृथ्वी की सतह से और चंद्रमा की सतह से पलायन वेग का अनुपात क्या है?

स्तंभ-$I$ को स्तंभ-$II$ के साथ सुमेलित कीजिए।

स्तंभ-$I$	स्तंभ-$II$
$(1)$ पृथ्वी की सतह पर पलायन वेग का मान	$(a)$ $2.38 \, km \, s^{-1}$
$(2)$ चंद्रमा की सतह पर पलायन वेग का मान	$(b)$ $7.92 \, km \, s^{-1}$
	$(c)$ $11.2 \, km \, s^{-1}$

$m$ द्रव्यमान का एक कण पृथ्वी की सतह से $v = k V_{e}$ $(k < 1)$ वेग के साथ प्रक्षेपित किया जाता है। $(V_{e} = \text{पलायन वेग})$. कण द्वारा प्राप्त सतह से अधिकतम ऊँचाई क्या है?